Aufgabe zu Exponentialfunktionen
Könnt ihr mir bei dieser Aufgebe helfen
Das Wachstum einer Bakterienkultur wird in einem Labor experimentell untersucht. Hierzu wird die Anzhal der Bakerien pro Milliliter Nährlösung halbstündlich ausgezählt.
Zeit t in Stunen |0| |0,5| |1| |1,5| |2| |2,5| |3|
Anzahl der Bakterien pro ml in Tausend |0,51| |0,65| |0,84| |1,07| |1,37| |1,76| |2,25
a) Zeigen Sie durch Quotientenbildung, dass tatsächlich ein exponentielles Wachstum vorliegt.
b) Stellen Sie die Wachstumfunktion N(t) = c x a^t auf und zeichnen Sie deren Graphen.
c) Wann wird die Population auf 5000 Bakterien angewachsen sein ?
d)Bestimmen Sie die Zeitspanne T, in der sich die Bakterienzahl jeweils verdoppelt.
wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte
LG Kai
3 Antworten
a) Quotientenbildung heißt, dass du die Werte dividierst:
also zuerst a1 / a2, dann a2 / a3, usw.
wie du siehst sind hier a1 / a2 und a2 / a3 und auch a3 / a4 usw. annähernd gleich: nämlich etwa 0,785. damit ist bewiesen, das es exponentiell ist, nämlich 0,51 wird immer mit 0,78 multipliziert.
b) Wir wissen nun, dass es irgendwas mit 0,51 * 0,758^(-t) das Minus bei t gehört, weil es sonst ja eine fallende funktion wäre, sie muss aber steigend sein; 0,51 als startwert nimmst du, weil im zeitpunkt 0, also 0,758^0 (ist 1) wir gleich 0,51 Bakterien haben. Deshalb: N(t) = 0,51 * 0,758^(-t)
c) du setzt nun ein:
5000 = 0,51 * 0,758^(-t); t ist unbekannt, also umformen:
log 9803,9 = log 0,758 * -t <=> t = 33,17
nach 33,17 Stunden also :)
d) wir wissen (wir nehmen jetzt einfach einen einfachen wert ;)):
0,51 = 0,51 * 0,758^(-0)
wann ist N(t) aber das doppelte?
also verdoppeln:
1,02 = 0,51 * 0,758^(-t)
wieder umformen; -log(1,02/0,51) / log(0,758) = t
also t = 2,502
nach 2,5 stunden verdoppeln sich die bakterien :)
ich hoffe, ich konnte dir helfen :)
bei weiteren fragen helfe ich gern ;)
girlyglitzer
Bei der a.) wird 0,84/0,51 gerechnet, um den Wachstumsfaktor zu bestimmen. Denn dazwischen liegt genau eine Stunde. Somit lautet die Gleichung N(t)= 0,51*1,64^t
c.)
0,51*1,64^t=5 setzen
nach t auflösen
t=4,6h
d.)
N(0)=0,51
verdoppeln
N(0)*2=1,02
1,02=0,51*1,64^t
nach t auflösen
t=1,4h
@girlyglitzer Ich glaube, du hast bei c) nicht beachtet, dass die Spalte "Anzahl der Bakterien" in Tausend da stand. Anstatt mit 5000 gleichzusetzen, müsste man mit 5 gleichsetzen. Am ende würde 8,237 stunden rauskommen.