Aufgabe: Nenne verschiedene Zahlen mit 18 Teilern?
Hallo,
wie gelange ich von der Teileranzahl 18 auf die verschiedenen möglichen Zahlen, die diese Teileranzahl besitzen?
Meine Idee bisher:
Die Primteiler 2*3*3 = 18.
Doch dann komme ich leider nicht weiter.
4 Antworten
mit der Primzahlzerlegung bist du ja schon gut.
Teiler 1 immer alle
Primzahlen 2 und 3 und nochmal 3
hat du noch dazu Teiler : 2, 3, 6, 9, 18 sind schon 6
nehmen wir noch die 5 dazu
dann Teiler 5, 10, 15, 30. 45 und 90 dazu also schon 12 Teiler
nehmen wir eine weitere neue Primzahl dazu z.B. 7
dann sind 7, 14, 21, 42, 63, 126, 35, 70, 105 und 630 weitere Teiler also schon 20 Teiler. eine Neue Primzahl wäre also über 18 (wenn 1 und eigentliche Zahl mitzählen oder genau 18 wenn sie nicht mitzählen. Dann wäre deine Lösung alle Kombinationen mit Primzahlenzerlegung aus 4 Primzahlen mit einer doppelten dabei. Du kannst jetzt beliebige Primzahlen einsetzen und kommst auf diese Zahlen. du kannst also unendlich viele Zahlen mit dieser Voraussetzung konstruieren.
nehmen wir eine schon vorhandene Primzahl (5) dazu,
sind nur 2x3x3x5x5 =450
2x3x5x5 =150, 3x3x5x5= 225, 3x5x5= 75 und 5x5= 25 neu. also 5 neueTeiler also nur 17 insgesamt.
Wenn 1 und Endzahl mitzählen finde ich keine Lösung für immer genau 18 Teiler.
2*3*3 ergibt zwar 18, hat aber nicht 18 Primärteiler.
Aber müssten nicht 2 hoch 18 ... 3 hoch 18 ... 5 hoch 18 u.s.w. immer genau 18 Teiler haben?
Also wenn die Primfaktorzerlegung deiner Zahl die Form
p^a * q^b * r^c *...
hat, dann hat die Zahl genau
(a+1)*(b+1)*(c+1) unterschiedliche Teiler.
Somit haben Zahlen der Form
p*q^2*r^2
p*q^8
p^5*q^2
Und
p^17,
Wobei p, q und r unterschiedliche Primzahlen sind, genau 18 Teiler.
Du multiplizierst die Exponenten der Primfaktorzerlegung um 1 erhöht miteinander und die entstandene Zahl ist die Anzahl der Teiler.
Du meinst sicher
p^a * q^b * r^c *...