Aufgabe lösen MatheAnalysis?

Answer 1

[Rammstein53]

a)

Die Strömungsgeschwindigkeit im unteren Teil des Rohres ist aufgrund des geringeren Querschnitts höher als in einem runden Rohr. Das hat den Vorteil, dass auch geringe Abwassermengen gut abfließen können.

b)

Einheit 1 = 10 cm

Oben: Halbkreis mit Radius 3. Der Mittelpunkt liegt auf der y-Achse. Weil das Rohr 9 Einheiten hoch ist, liegt der Mittelpunkt bei (0,6).

Unten : nach oben geöffnete Parabel mit einer "Höhe" von 6 Einheiten. Der untere Scheitelpunkt liegt bei (0,0). f(x) = a*x². Damit auf der Höhe y = 6 der Halbkreis berührt wird, muss gelten 

f(-3) = f(+3) = 6

Daraus folgt f(x) = 2/3*x²

Verwendet man das Modell, ist der Übergang nicht knickfrei. Die Tangente am Berührungspunkt am Halbkreis steht senkrecht. Die Tangente einer Parabel tut das nie. Man könnte es knickfrei hinbekommen, wenn man den Halbkreis ein Stück nach unten fortsetzt und die Parabel ein wenig spreizt. Das folgende Foto verdeutlicht dies. Aber danach ist nicht gefragt.

c)

Zur Bestimmung der Querschnittsfläche reicht die Betrachtung des positiven Anteils auf der x-Achse. Das Ergebnis am Ende wird dann verdoppelt.

Fläche Viertelkreis :

 r²*pi / 4 = 9/4 * pi

Fläche Parabel:

Differenzfunktion g(x) = 6 - f(x)

$\int \limits_{0}^{3} g(x) dx = 12$

In Summe beträgt die Querschnittsfläche 2*(9/4 * pi + 12) ~ 38.14 

Das entspricht 0.3814 m². Bei einer Länge von 2 Metern entspricht das einem Volumen von 0.7268 m³

d)

Zur Bestimmung des Innenumfangs reicht die Betrachtung des positiven Anteils auf der x-Achse. Das Ergebnis am Ende wird dann verdoppelt.

Umfang Viertelkreis :

2*r*pi/4 = 3/2 * pi

Bogenlänge Parabel:

$\int \limits_{0}^{3} \sqrt{1+f'(x)^2} = \int \limits_{0}^{3} \sqrt{1+ (4/3x)^2}$

Das Integral ergibt ~ 6.97

In Summe beträgt der Innenumfang 2*(3/2 * pi + 6.97) ~ 23.3

Das entspricht 2.33 Meter. Bei einer Länge von 2 Metern entspricht das einer Fläche von 4.66 m²

e)

Das Volumen eines 2 Meter langen, runden Rohres beträgt r²*pi*2. Das soll dem obigen Volumen entsprechen:

r²*pi*2 = 0.7268

r ~ 34 cm

Fazit: ein rundes Rohr mit Radius 30 cm hat weniger Volumen als das ei-förmige. Allerdings ist das ei-förmige Rohr um 50% höher.

Comments

[Linda78]

Kannst du ab Aufgabe c) genauer Schritt für Schritt es für das Verständnis erklären? Ich verstehe die rechenwege nicht ganz

[Rammstein53]

@Linda78

Der Querschnitt des Rohrs verläuft symmetrisch zur y-Achse. Deshalb braucht man zunächst nur die halbe Fläche berechnen. Diese besteht aus einem Viertelkreis und dem unteren halben Parabelabschnitt.

Um die untere Fläche zu berechnen, geht man von einem Viereck der Breite 3 und der Höhe 6 aus, und zieht davon das Integral der Parabel im Intervall [0,3] ab. Das enstpricht dem Integral der Differenzfunktion 6 - f(x) im Intervall [0,3].