Algebra: Sei H eine Untergruppe von G und es gelte gH(g^-1) ⊂ H, ist dann H ein Normalteiler?
Ich soll zeigen dass die obere Aussage stimmt. Normalteiler haben wir so definiert, dass sie die Bedingung gH(g^-1) = H erfüllen müssen, d.h. ich muss nur noch zeigen, dass es sich bei gH(g^-1) um keine echte Teilmenge von H handelt, also gH(g^-1) ⊊ H eine falsche Aussage ist.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand Feedback zu meinem Beweis geben könnte:
Angenommen es gilt nun gH(g^-1) ⊊ H. Das heißt es existiert ein h0 aus H und ein g aus G mit der Eigenschaft, dass gh(g^-1) != h0 für alle h aus H.
Das hat zur Folge (da H gleichmächtig zu sich selbst ist), dass es ein h1 aus H und ein zugehöriges g aus G gibt, sodass
gh'(g^-1) = h1 und gh''(g^-1) = h1, also dass es bei dem selben g zwei Elemente h' und h'' aus H gibt, die auf das gleiche h1 abgebildet werden (Schubfachprinzip: Es gibt bei festen g kein h das auf h0 abgebildet wird, also muss ein h1 existieren, auf das zwei h, und zwar h' und h'' abbilden.)
Es folgt h1 = h1 <=> gh'(g^-1) = gh''(g^-1) <=> h' = h''.
Somit gibt es kein h1, auf das zwei verschiedene Elemente aus H abbilden. Somit kann es kein h0 mit obigen Eigenschaften geben es handelt sich oben um keine echte Teilmenge.
Findet jemand Fehler oder sind meine Schlüsse korrekt?
3 Antworten
In dieser Form kannst du das Schubfachprinzip nur anwenden, wenn H endlich ist. Denn wenn du z.B. aus einer abzählbaren unendlichen Gruppe ein einzelnes Element entfernst, ist die Differenz immer noch abzählbar unendlich.
Joa, für endliche Gruppen stimmt das, soweit ich das sehe.
Für allgemeine Gruppen würde mich die genaue Formulierung der Aufgabe interessieren: Ist gegeben, dass gHg^(-1) für jedes g der Gruppe eine Teilmenge von H ist? Oder nur für ein festes g aus der Gruppe?
"Es sei H ⊂ G eine Untergruppe mit gH(g^-1) ⊂ H für alle g ∈ G. Zeigen Sie, dass H ein Normalteiler von G ist."
Das ist richtig, weswegen ich nachfragen musste: Für ein festes g wäre die Aussage nämlich einfach i.A. falsch gewesen. Aber so ist die Aufgabe immerhin lösbar ;)
Wir halten irgendein g in G fest und wollen zeigen, dass H ⊂ gHg^(-1) gilt. Definiere ferner g' := g^(-1).
Sei h ein beliebiges Element von H. Dann gilt:
h = ehe
= (gg^(-1))h(gg^(-1))
= g(g'hg'^(-1))g^(-1).
Weil aber g'Hg'^(-1) ⊂ H gilt nach Voraussetzung, ist h' := g'hg'^(-1) ein Element von H.
Daher ist h = gh'g^(-1) ein Element von gHg^(-1).
Kein Ding. Es ist allerdings ein wenig unübersichtlich, auf Elemente runterzugehen. Die eigentliche Argumentation, die dahintersteckt, lautet einfach:
g^(-1)Hg ⊂ H, also
H = eHe = g(g^(-1)Hg)g^(-1) ⊂ gHg^(-1).
Du hast n.V. durch h -> g h g^-1 eine Abbildung von H nach H.
Injektivität hast du schon gezeigt. Die eigentliche Frage geht nach der Surjektivität,
Zu gegebenem h ist g^-1 h g das Urbild.
Die Abbildung ist also bijektiv und g H g^-1 = H.
Wenn gH(g^-1) eine Teilmenge von H ist und gleichmächtig zu H ist, folgt doch sofort, dass es gleich H ist. Was du ausschließen solltest, ist hingegen dass gH(g^-1) eben keine Teilmenge von H ist, dass also ghg^-1 nicht in H liegt für ein g aus G und h aus H.
Aber diese Gleichmächtigkeit zeige ich doch gerade oder nicht?
Dadurch dass ich zeige, dass gh'(g^-1) = h1 und gh''(g^-1) = h1 in h' = h'' resultiert ergibt sich diese doch erst, aber meine Anfangsannahme, dass h' und h'' nicht gleich sein müssen, stellt doch die Möglichkeit in den Raum dass die linke Seite, also gH(g^-1) weniger mächtig als H ist?
Und gH(g^-1) ist doch nach Voraussetzung eine Teilmenge von H.
Bitte korrigiere mich falls ich gerade komplett auf dem Schlauch stehe
Oke das sehe ich ein. Aber ist der Beweis für den Fall endlicher Gruppen dann korrekt?
Und hast du vllt einen Tipp wie ich ansetzen könnte um diese Behauptung für unendliche Gruppen zeige?