Äquivalenzumformung erlaubt?
Ich habe mir grade einen Beweis zu etwas bestimmten angeschaut, bei dem man die Terme in der Äquivalenzumformung jeweils als exponenten für eine Zahl geschrieben hat. Da dies wahrscheinlich unverständlich formuliert war, versuche ich es mit einem Beispiel zu verdeutlichen:
4x=5 |a^(...)
a^4x=a^5
also quasi irgend eine Zahl nehmen, und die vorherigen Terme in den exponenten der Zahl schreiben. Habe so etwas vorher noch nie gesehen, darf man das beim umformen machen?
3 Antworten
Jein, aber so wie du's hingeschrieben hast, sicher nein.
Aber sehr wohl...
Denn was bedeutet "=" und was bedeutet Äquivalenzumformung?
"=" bedeutet, dass die linke Seite der Gleichung der rechten Seite entspricht. Das ist bei der Umformung der Fall. , weil x = 5/4 führt bei beiden Gleichungen zu einer wahren Aussage.
"Äquivalenzumformung" ist der Vorgang der Umformung, bei der a) der Wahrheitswert der Gleichung erhalten bleibt und b) die Lösungsmenge nicht verändert wird
a) ist erfüllt, b) nicht unbedingt.
Gegenbeispiel für b)
In der linken Gleichung haben wir x = 1, in der rechten aber x = 1 und x = -1. Da haben wir also die Lösungsmenge verändert.
D.h. dass Exponentation (oder wie man das auch schreibt) nicht allgemein eine Äquivalenzumformung ist. Wenn man aber beachtet, dass man die Lösungsmenge nicht verändert (z.B. durch Probe o.Ä.) dann ist es schon eine valide Umformung.
Danke sehr, ich war mir nicht sicher ob dies auch immer anwendbar ist oder ob es auch Ausnahmen gibt
Kann man machen. Z. B. wenn man den Logarithmus von einem Term mit x wegbekommen möchte, damit dieser Term im Anschluss alleine steht (ein anderer Grund für diese Umformung fällt mir gerade nicht ein).
Beispiel:
ln(x+3)=5 |e^, da ln der Logarithmus zur Basis e ist
e^(ln(x+3))=e⁵ |e^ln hebt sich auf
x+3=e⁵ |-3
x=e⁵-3
Umgekehrt kann man sagen: sind 2 Potenzen mit gleicher Basis gleich, dann müssen auch die Exponenten gleich sein. In Deinem Beispiel würde man "von unten nach oben" jetzt den Logarithmus zur Basis a anwenden und es blieben die Exponenten übrig...
Ja darf man.
Allerdings ist das in dem Sinne keine Äquivalenzumformung eines Terms sonder nur eine erlaubte Umformung einer Gleichung.
Im wesentlichen kannst du es dir so vorstellen, wenn 4x = 5 ist dann muss a^4x auch gleich a^5 sein, da die Funktion a^(x) für gleiche x auch gleiche Werte liefert.
Da a^(x) zudem auch Bijektiv ist (für a > 0) musst du dir keine sorgen machen, dass du danach Extralösungen durch diese Umformung erhältst.