Ähnlichkeit Mathe Flächeninhalt um 30% verkürzen?
aufgabe: "alle längen eines vielecks werden um 30% verkürzt. Wie ändert sich der Flächeninhalt"
ich weiß dass die Lösung 49% ist aber wie kommt man darauf?
Wenn man um 30% prozent verlängert rechnet man ja 1.3×1.3= 1,69 = 69% muss man dann nicht einfach 100%-69% rechnen?
2 Antworten
Hallo,
betrachte das Vieleck ABCDE.
Du kannst es leicht in Dreiecke einteilen. Die Summe aller Dreiecksflächen ist identisch mit der Fläche des Vielecks.
Jedes Dreieck kannst Du durch Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen, deren Flächen sich unter der Annahme, daß ihre Grundseite, also die mit dem Höhenfußpunkt, die auf einer der Seiten des Vielecks liegt,
um 30 % verkürzt werden.
Nimm das rechtwinklige Dreieck ABH als Beispiel.
Sein Flächeninhalt ist das halbe Produkt seiner Katheten HA (h) und HB (p).
HA, die rot eingezeichnete Höhe h, läßt sich in Abhängigkeit von c und dem Winkel bei B (sei seine Bezeichnung beta) so ausdrücken:
h=c*sin (beta).
Entsprechend ist der Diagonalenabschnitt p:
p=c*cos (beta).
Die Fläche A dieses Teildreiecks, nämlich (1/2)*h*p läßt sich also auch als
A=c*sin (beta)*c*cos (beta)=c²*sin (beta)*cos (beta) ausdrücken.
Hat c die Länge l und c' die Länge 0,7 l wegen der Verkürzung um 30 %,
ist A'=c'²*sin (beta)*cos (beta)=0,49c*sin (beta)*cos (beta).
Am Winkel beta aber ändert sich durch die Verkürzung aller Seiten des Vielecks nichts, denn Du bekommst dadurch ein ähnliches Vieleck, das in allen Winkeln und Seitenverhältnissen mit dem ursprünglichen übereinstimmt.
Das einzige, was sich an der Fläche des Teildreiecks und damit am der Fläche jedes der Teildreiecke im Vieleck ändert, ist der Faktor 0,49.
Jede Fläche eines jeden Teildreiecks mit verkürzter Seite hat somit 49 % der Fläche des ursprünglichen Teildreiecks.
Damit hat auch die Summe der verkleinerten Teildreiecksflächen und damit die Fläche des verkleinerten Vielecks 49 % der ursprünglichen Fläche des Vielecks.
Herzliche Grüße,
Willy
Nein. Das mit dem Faktor 1.3 stimmt, aber "um 30% verkürzen" heißt "mit 0.7 multiplizieren". Und 0.7*0.7 ist...?
Und? Darum geht as ja nicht.
Wenn die Fläche eines Vielecks A ist, so ist die Fläche eines Vielecks, bei dem alle Seiten gegenüber dem ersten Vieleck um 30% kürzer sind, 0,49 * A - EGAL wie die Fläche genau zu berechnen ist...
Du kannst ein Vieleck in Dreiecke unterteilen. Bei gegebener Grundseite a hängt deren Fläche nur noch von h ab.
h kannst Du über den Zentriwinkel des Vielecks und a berechnen.
a fließt also zweimal in die Rechnung ein, und zwar als Faktor.
Damit wird es quadratisch.
Das Quadrat von 0,7 ist 0,49 oder 49 %.
Alle anderen Größen beim Vergleich Vorher-Nachher wie insbesondere die Winkel bleiben gleich.
Die Fläche eines Vielecks ist mitunter schwer auszurechnen ...