Kann mir jemand das Thema 'Vergößern und Verkleinern' erklären + anschliesend eine Aufgabe dazu?
Hallo, Heute im Unterricht haben wir eine Aufgabe gemacht, welche ich jedoch nicht so gut verstanden habe. Wir haben momentan das Thema 'vergrößern und Verkleinern' bzw. Maßstab. Und dieses Thema nacht mir schon immer etwas Probleme.
Die Aufgabe lautet so:
a) Alle Längen eines Vielecks werden um 20% verlängert [verkürzt]. Um wie viel Prozent verhrößert [verkleinert] sich sein Flächeninhalt?
b) Alle Längen eines Vielecks werden um 30% verkürzt. Um wie viel Prozent verkleinert sich sein Flächeninhalt?
Es ware echt super nett, wenn mir jemand die Aufgabe + das Thema allgemein etwas erklären könnte... Danke im Vorraus!
2 Antworten
Der Flächeninhalt ist eine Maßeinheit "Länge × Länge".
Wenn also alle Längen um 20% verlängert werden - sie sind also das 1,2-fache der ursprünglichen Länge - ergibt sich für die Fläche einen Veränderung von "1,2 × 1,2" → also 1,44 - das ist eine Vergrößerung um 44%.
Verkürzung um 20% → neue Länge ist das 0,8-fache → Rest wie oben.
Analog mit 30% Verlängerung/Verkürzung!
Unter einer Vergrößerung/Verkleinerung solltest du dir etwas vorstellen können. Sonst schau dir z. B. die Zoom-Funktion für Bilder deines Smartphones an (Fotogalerie oder Browser). Eine Verlängerung um 20% erreichst du dort, indem du zwei Fingerkuppen im Abstand von 5 cm auf das Display legst und auf einen Abstand von 6 cm auseinander ziehst.
Dieses "Zooming" soll nun mathematisch beschrieben werden.
Zur Aufgabe selbst:
Eine Prozentangabe ist ein relatives Maß, ein Verhältnismaß. D. h. eine Vergrößerung um 10% ist eine Multiplikation mit 1,1. Daran muss man denken, wenn man es mit Prozenten zu tun hat.
Da man alle Vielecke in Dreiecke einteilen kann, reicht es aus, Dreiecke zu betrachten. ("Triangulation"; diese Zerlegbarkeit von Vielecken begründet auch, warum man sich in der ebenen Geometrie so intensiv mit Dreiecken beschäftigt.)
Um das einzusehen bzw. zu begründen, muss man wissen/voraussetzen/zeigen, dass bei Änderung der Längen um einen bestimmten Faktor alle Winkel erhalten bleiben.
Da sich jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen lässt, reicht es weiterhin aus, nur rechtwinklige Dreiecke zu betrachten. Auch hier bleiben beim Vergrößern/Verkleinern die Winkel erhalten.
Wie lautet die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck? Was passiert bei Vergrößerung/Verkleinerung des Dreiecks um den Streckungsfaktor k?