Ableitungsfunktion Aufgabe unverständlich?
Hallo zusammen,
gerade bin ich dabei in Mathe ein neues Thema zu beginnen. Das Thema lautet Ableitungsfunktionen.
Wie ihr im Bild seht, kommt in der ersten Ableitung ein Pi einfach dazu, warum ist das so? Damit ihr wisst, welches Pi ich meine, habe ich es rot umkreist.
Wieso wird in der Lösung einfach ein Pi dazugeschrieben, woher kommt das und warum muss man das machen?
4 Antworten
Das ist die Kettenregel (eine Ableitungsregel).
Wenn du eine verkettete Funktion hast, dann kannst du eine innere und äussere Funktion definieren. Z.B. in deiner Aufgabe hast du die folgende verkette Funktion die du ableiten möchtest: sin(Pi mal x). Die äussere Funktion ist dann sin(x) und die innere Funktion ist: Pi * x. Die Kettenregel besagt dann dass die Ableitung deiner verketteten Funktion die Ableitung der äusseren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion ist. Die Ableitung der äusseren Funktion, hier sinus, ist cos, also cos(Pi * x), aber du hast noch die innere Ableitung. Diese ist Pi, denn Pi mal x abgeleitet ist Pi. Die Ableitung von sin(Pi * x) ist also Pi * cos(Pi *x).
Allgemein lautet die Kettenregel so:
https://www.gut-erklaert.de/mathematik/kettenregel-ableitung.html
Hier wird es nochmals erklärt falls du meine Erklärung nicht ganz verstanden hast.
Das Thema lautet Ableitungsfunktionen.
Normalerweise lernt man die hier verwendete/benötigte Kettenregel schon kennen bevor man sin/cos ableitet.
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Die Fkt f(x) = (x²-5x)² kann man umschreiben zu u² und man hat dann 2*u*u' als Ableitung , also 2*(x²-5x)² * (2x-5) ...........letzteres ist die sogenannte innere Ableitung von x² - 5x nach den bekannten Regeln.
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Innere Ableitung mal äußere Ableitung
Offenbar ist die Ableitung von sin (1*x) = 1 * cos (x)
Und bei Faktor pi statt 1 dann pi * cos (pi*x)
f(x)= sin(2x)
= sin(2x) = 2*sinx *cosx
| Produktregel anwenden
f´(x) =2(cos x *cos x-sinx*sinx)
| umformungsregel anwenden
cos (x±y)=cosx cosy±sinx sin y
=2cos (2x)
aber wie kann es sein das dieses Pi einfach "hergezaubert" wird?