7^61 Im Dezimalsystem?
Hi! Wie löse ich diese Aufgabe ?
7^61 im Dezimalsystem und ich soll die letzte Ziffer angeben. Ohne Taschenrechner
dann noch 5^32 im Siebenersystem
verstehe ich leider nicht:/
danke !
4 Antworten
7^61 ≡ 7 * 7^60 ≡ 7 * 7^3 * 7^3 * …. * 7^3(20-mal) ≡ 7*3^20 ≡ 7 * 3^4 * 3^4 *3^4 * 3^4 *3^4≡ 7 mod 10
=> letzte Ziffer ist eine 7
Der Restklassenring- und Modulo-Profi. Wichtig für Kryptographie. Ich habe mich auf 61 Mod 4 verständigt, das ergibt eine 1 und damit ist es eine 7.
Für die Letze Ziffer eines Produktes sind nur die letzten Ziffern der Faktoren relvant.
Multipliziere also immer 7 dran und entferne alles, was nicht die Einerstelle ist. Und Multipliziere dann wieder 7 dran usw.
Also:
7
7*7 = 49 (wir brauchen nur die 9)
7*9 = 63 (wir brauchen nur die 3)
7*3 = 21
7*1 = 7
7*7 = 49
....
Das machst du so weiter, bis, du die letze Ziffer von 7^61 hast. Du solltest aber hier schon ein Muster erkennen, welches du nutzen kannst, um die Ziffer schneller zu bestimmen.
Bei der anderen Zahl gehst du analog vor, nur dass du stattdessen die letzte Ziffer im siebenersystem jeweils betrachtest.
Die letzte Ziffer dürfte eine Folge ergeben, etwa 7-3-9-1-7
Beweis: Die letzte Ziffer kann sich nur aus den letzten Ziffern der beiden Faktoren ergeben. Teilbeweis: (a*10+b)+(c*10+d) = 100ac+10ad+10bc+bd. Ein Faktor ist immer 7. Aus 7 * 7 ergibt sich 9, aus 7 * 9 ergibt sich 3, aus 3*7 ergibt sich 1, aus 7 * 1 ergibt sich 7 und wir sind wieder im Ring. Also berechne 61 mod 4 = 1, dann wäre es wohl die 7.
Dasselbe dann für 5^32, allerdings im 7er-System
Die Folge besteht aus vier Elementen, nach jedem vierten Element wiederholt sich die letzte Ziffer.
Z.B. 7^1 Mod 10 = 7, 7^2 Mod 10 = 9, 7^3 Mod 10 = 3, 7^4 Mod 10 = 1, 7^5 Mod 10 = 7, 7^6 Mod 10 = 9 etc.
Es wiederholt sich also 7-9-3-1-7-9-3-1-7-9-3-1-7-9-3-1-7-9 ..., immer diese 4er-Folge 7-9-3-1
Die 61ste Zahl ist wieder die 7, denn nach jeder vierten Zahl kommt die 7. Die Zahl 60 hat 15mal diese vierer-Folge 7-9-3-1, bei der 61 geht es wieder mit der 7 los. Das findet man mit 61 Mod 4 raus, das ergibt 1, es ist also die erste Zahl der 4er-Folge 7-9-3-1
7⁶¹: wie im Beispiel von 5³² vorgehen
5³² im Septimalsystem (7er)
Bestimme von 5¹, 5², 5³, 5⁴, ..., was als letzte Ziffer im Septimalsystem rauskommt. Brauchst nur mit der letzten Ziffer des Vorergebnisses weiter zu rechnen.
Erkennst du was?
Danke sehr ! Woher kommt denn mod 4 ?