5c: Spatprodukt gleich Determinante?
Weiß jemand wie ich zeigen kann, dass die obige Abbildung (Spatprodukt) die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren x,y,z liefert ? Habe da nicht mal einen Ansatz.
4 Antworten
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Alternativ:
Mit (a) und (b) hat man nachgewiesen, dass es sich beim Spatprodukt um eine sogenannte Determinantenform handelt. Es gibt nur eine solche Determinantenform, welche zusätzlich noch normiert ist (d.h. die Einheitsmatrix auf die Zahl 1 abbildet). Diese normierte Determinantenform ist die Determinante.
Siehe beispielsweise auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Axiomatische_Beschreibung
Wenn du also neben (a) und (b) noch zeigst, dass das Spatprodukt für x = (1, 0, 0)ᵀ und y = (0, 1, 0)ᵀ und z = (0, 0, 1)ᵀ die Zahl 1 liefert, hast du (c) gezeigt.
Das Kreuzprodukt von (x1, x2, x3) und (y1, y2, y3) ist
(x2y3 - y2x3, x3y1 - x1y3, x1y2 - y1y2)
Das Skalarprodukt mit (z1, z2, z3) ist dann
x2y3z1 - y2x3z1 + x3y1z2 - x1y3z2 + x1y2z3 - y1y2z3
Das ist genau die Determinante
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
Per definition ist die Determinante die (einzige) multilineare alternierende Abbildung, die die Einheitsmatrix auf 1 abbildet. Hierbei interpretiert man eine Matrix als das Tupel ihrer Spaltenvektoren.
Wenn du (a) und (b) gemacht hast, musst du also eigentlich nur noch prüfen, dass das Spatprodukt die Einheitsmatrix auf 1 abbildet.
Berechne mal das angegebene Spatprodukt für allgemeine Vektoren x,y,z "per Hand" und mache das selbe für die Determinante der Matrix M. Da sollte dann (eventuell nach Umformungen) das selbe rauskommen.