Ist es problematisch, wenn man ein Beamtenverhältnis verlassen will und etwas anderes machen will?

Du kannst jederzeit gehen. Es ist die Frage, ob es sich "lohnt" ein so sicheres Arbeitsverhältnis zu kündigen.

Nein, du kannst jederzeit die Entlassung aus dem Dienstverhältnis beantragen. Eine Kündigungsfrist gibt es in dieser Form nicht.

Der Dienstherrn könnte dein Ausscheiden lediglich aus wirklich wichtigen Gründen um maximal 3 Monate verzögern.

Nein, aber das würde ich nicht machen.

Ob man als ehemaliger Beamter eine neue Arbeit findet, hängt doch nicht vom damaligen Beamtenstatus, sondern von der Qualifikation und dem, was man ihm zutraut, ab. Vielleicht in einem Bettenhaus oder so.