Linearität ist klar. Für die Stetigkeit schaust du dir die Folge an. 

Der Eigenraum ist immer Teilraum des zugehörigen Hauptraumes. Dabei entspricht die Dimension des Eigenraumes gerade der geometrischen Vielfachheit des dazugehörigen Eigenwertes. Die Dimension des Hauptraums ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts.

Es gilt immer:

geometrische Vielfachheit <= algebraische Vielfachheit

Gilt nun Gleichheit, dann ist der Eigenraum ein Untervektorraum des Hauptraumes mit gleicher Dimension und muss daher mit dem Hauptraum übereinstimmen.

Gilt jedoch geo. Vielf. < alg. Vielf. , dann ist der Eigenraum echter Teileraum des Hauptraums und die beiden stimmen nicht überein.

TL;DR Nein , der Hauptraum entspricht nicht immer dem Eigenraum, enthält diesem aber immer als Teilraum.

In der elementaren Analysis bzw. der Schulmathematik ist eine lineare Funktion einfach ein Polynom ersten Grades, d.h. von der Form f(x) =m*x+b

Die „richtige“ lineare Funktion, bzw. so wie sie an der Uni dann eingeführt wird, ist eine Abbildung der Form f(x)=A*x vom R^n in den R^m ,wobei A eine beliebige nxm Matrix und x ein mx1 Vektor ist. Im eindimensionalen Fall entspricht dies gerade den Polynomen ersten Grades f(x) =mx+b für b=0, d.h. den geraden durch den Ursprung.

Ich weis nicht welches Vorwissen du hast, aber das Lemma von Bezout sagt dir dass du den ggT von 2 und 7 als linearkombination der beiden schreiben kannst und eine Folgerung daraus ist, dass die "Koordinate" vor der 2 dein Multiplikativ inverses zu 2 in Z/(7) ist. Nun hast du ja schon richtig ggT(2,7)=1=7-3*2.
also ist -3 dein multiplikativ Inverses. Nun möchte man natürlich lieber mit positiven Zahlen rechnen. Nun ist aber JEDE Zahl die sich schreiben lässt als -3+m*7 für m aus Z kongruent zu -3. Also auch -3+1*7 =4. Daher ist "auch" 4 das multiplikativ Inverse zu 2.

Die Eigenwertberechnung ist ja nicht nur ein Problem, was sich für die Hessematrix ergibt, sondern allgemein für nxn Matrizen, bzw. Endomorphismen.

zu 1:

Das kann man pauschal nicht sagen. Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix, daher eine Matrix die auf der Diagonalen irgendwelche Einträge hat, sonst über 0, kann ich dir direkt angeben. Dabei ist es sogar egal ob es sich um eine 2x2 Matrix oder 100x100 Matrix handelt. Denn die Eigenwerte wären dann einfach die Diagonaleinträge.

Erfahrungsgemäß kann ich sagen, dass die Berechnung der Eigenwerte einer 2x2 und 3x3 Matrix absolut kein Problem ist, das kann man in unter 5 min erledigen. Ab 4x4 und aufwärts wird es dann schon etwas problematischer - aber nicht schwieriger. In meiner LA1 Klausur damals, musste ich die Eigenwerte einer 4x4 Matrix berechnen, war absolut kein Spaß, kann ich dir sagen. Bestimmt 10 mal verrechnet.

zu 2:

Um die Eigenwerte einer Matrix A zu berechnen, ich gehe hierbei von aus, dass sich die Matrix nicht in Diagonalgestallt befindet (sonst siehe oben), müssen wir die Determinante der charakteristischen Matrix berechnen und Nullstellen des so erhaltenen Polynoms bestimmen. Die charakteristische Matrix zu A ist definiert als A-x*E. Wobei E die Einheitsmatrix ist. Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht.

Kleines Beispiel anhand einer 2x2 Matrix:

Betrachte die Matrix A =

(-1    1)

(4    -1)

Dann lautet die charakteristische Matrix

(-1-x    1)

(4    -1-x)

Was also effektiv passiert: wir ziehen von allen Diagonaleinträgen einfach x ab.

Die Determinante liefert dann das charakteristische Polyom zur Matrix A, also

P(x) = (-1-x)(-1-x)-4= 1+2x+x^2-4=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

Die Nullstellen sind x1=1 und x2=-3. Das sind somit die Eigenwerte unserer Matrix A.

In deiner anderen Frage wolltest du wissen ob es noch andere Möglichkeiten gibt, die Definitheit der Hessematrix zu untersuchen. Ja die gibt es. Für selbstadjungierte Endomorphismen, kann man die Definitheit über die Hauptminoren bestimmen. Glücklicherweiße ist die Hesse-Matrix selbstadjungiert. Problem an dieser Methode ist, dass sie nicht zu 100% ein verwertbares Ergebnis liefert. Vorteil natürlich, dass sie um einiges schneller ist, als die Berechnung der Eigenwerte.

Üblicherweise geht man wie folgt vor, wenn man die Definitheit der Hesse-Matrix untersuchen will:

0. Du weißt bereits ob sie Definit ist (naja...)

1. Ist die Hesse-Matrix in Diagonalform, dann einfach Eigenwerte ablesen.

2. Falls nicht, dann Hauptminoren berechnen.

3. Falls Methode 2 keine verwertbaren Informationen liefert, DANN erst die Eigenwerte der Matrix berechnen.

Bei Fragen kommentieren

VG

Hallo!

Vorweg: Stelle solche Fragen doch lieber auf matheraum oder matheplanet, dort kann dir mMn besser geholfen werden. (zumal dort auch LaTeX unterstützt wird)

Zu deiner Frage:

Da du es mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion zu tun hast, kannst du die Bestimmung der lokalen Extrema fast genauso angehen wie im eindimensionalen Fall.

Der unterschied liegt darin, dass die Steigung deiner Funktion keine Zahl ist, sondern eine Matrix, auch Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix genannt.

Um die Funktionalmatrix aufzustellen benötigen wir die beiden partiellen Ableitungen, daher differenzieren wir einmal nach x1 und einmal nach x2. Wir halten

(1) d/dx1 f(x1,x2) = cos(x1)sin(x2)

(2) d/dx2 f(x1,x2) = sin(x1)cos(x2)

(Hier sieht man auch nochmal schön die Differenzierbarkeit der Funktion f, welche aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt.)

Nun ist die Jacobi-Matrix von f einfach die 1x2 Matrix mit den partiellen Ableitungen als Einträge, daher:

J(f(x1,x2)) = (cos(x1)sin(x2) , sin(x1)cos(x2))

Nun wissen wir ja aus dem Eindimensionalen, dass wir die Ableitung "0 setzen" und nach x auflösen müssen. Das funktioniert hier genauso! Also:

J(f(x1,x2)) = (0,0) 

daher (cos(x1)sin(x2) , sin(x1)cos(x2))  = (0,0)

Daraus erhalten wir zwei Gleichungen:

(i) cos(x1)sin(x2)  = 0

(ii) sin(x1)cos(x2) = 0

Scheint anfangs vielleicht schwer lösbar zu sein, aber da der Definitionsbereich auf -pi bis pi eingeschränkt ist, kann man das mit relativ wenig Aufwand lösen.

Der Sinus wird bei allen Vielfachen von pi Null. Da -pi und pi nicht mehr im Definitionsbereich sind, bleibt als Nullstelle vom Sinus nur noch der punkt x2= 0.  Damit wäre Gleichung (i) schonmal Null.

Setzen wir x2=0 in die zweite Gleichung ein und erinnern uns daran, dass cos(0)=1,  bleibt nur noch sin(x1) = 0. Und was wird wieder nur für x1=0 erfüllt.

Wir erhalten als potenzielle! extrem Stelle also den Punkt x=(0,0). Das ist natürlich nicht der Einzige. Wir wissen dass der Cosinus für -pi/2 und pi/2 ebenfalls null wird.

Daher erhalten wir als kritische Punkte z.B noch:

 x=(+-pi/2,+-pi/2) (Selben Überlegungen wie beim ersten Punkt!)

Damit erhalten wir also insgesamt 5 kritische Punkte.

Möchtest du jetzt noch überprüfen ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, geht das nicht mehr wie im eindimensionalen. Dort konnten wir über das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den kritsichen Punkten argumentieren ob es sich um Extremstellen handelt.

Die zweite Ableitung im Mehrdimensionalen ist nun wieder eine Matrix, diese nennt man Hesse-Matrix. Natürlich hat diese kein Vorzeichen im üblichen Sinne, so dass unsere Argumentation aus dem Eindimensionalen nicht funktioniert. Stattdessen kann man über die Definitheit der Hesse-Matrix auf die Existenz der lokalen Extrema schließen. Das zu zeigen ist normalerweise nicht mehr ganz so einfach.

Da wir aber stetige zweite partielle Ableitungen haben ist unsere Hesse-Matrix symmetrisch, sodass wir für die Definitheit, über die Hauptminoren, daher die "Unterdeterminanten" der Matrix untersuchen können. Andererseits könnte man die Definitheit der Matrix auch mittels Vorzeichen der Eigenwerte überprüfen.

Bestimmen wir also mal die zweiten partiellen Ableitungen.

(Ich schreibe hier für die die zweite partielle Ableitung, bei der erst nach x1 und dann nach x2 abgeleitet wurde nun f12(x1,x2))

f11(x1,x2) = -sin(x1)sin(x2)

f12(x1,x2) = cos(x1)cos(x2)

f22(x1,x2) = -sin(x1)sin(x2)

Aus dem Young-Theorem folgt direkt f21= f12, so dass wir diese nicht noch extra berechnen müssen.

Unsere Hesse Matrix sieht nun wie folgt aus:

H(f) =

(f11 f12)

(f21 f22)

(Ich hoffe es ist klar wie das gemeint ist, Matrizen lassen sich hier schlecht darstellen =( )

Nun müssen wir für jeden einzelnen Punkt die Definitheit der Matrix überprüfen. Ich mache das mal für den Punkt x=(0,0) vor und verwende hierbei die Methode über die Eigenwerte.

Setzen wir den Punkt in unsere Hesse Matrix ein, erhalten wir die Matrix

(0 1)

(1 0)

Die Eigenwerte dieser Matrix sind -1 und 1, unsere Matrix ist also indefinit. Damit folgt, dass unsere Funktion im Punkt x=(0,0) keine Extremstelle, sondern einen Sattelpunkt hat.

Die restlichen Punkte kannst du gerne mal selbst testen, das würde hier dann doch den Rahmen sprengen. Falls du weitere Fragen hast, gerne einen Kommentar unter dieser Antwort verfassen.

VG

Du hast nicht X ohne C, man schreibt X\C, angegeben sondern C ohne X, also C\X. Aufpassen dass du für das Komplement auch C\X und nicht C/X schreibst. Das sind zwei verschiedene Dinge!

Ich studiere in Heidelberg. Skripte gibt es entweder auf der jeweiligen Seite der Vorlesung oder die Fachschaft hat Skripte vonVeranstaltungen der vergangenen Jahre. In den letzten Semestern war es auch so, dass die Skripte von der Fachschaft gedruckt, gebunden und innerhalb der ersten Vorlesungswochen an die Anwesenden verteilt wurde. (Nicht in allen Vorlesungen) Anwesenheitspflicht gibt es generell nicht, bis auf wenige Ausnahmen wie Seminare. Ohne die Vorlesung zu besuchen, wirst du aber mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht einmal das erste Semester in Physik überstehen. Je nach Prof. haben es auch die Mathe Vorlesungen in sich.

Fachhochschulen ist eine Art von Hochschule. Genauso wie die Universität auch eine Art der Hochschule ist. Mit der Fachhochschulreife , kannst du an. Fachhochschulen studieren. Meistens erkennt man diese daran dass sie sich "Hochschule für xy" nennen. Fachhochschulreife bitte nicht mit dem Fachabitur verwechseln, wie es die andere Antwort gemacht hat. Fachhochschulreife berechtigt dich zum Studium an Fachhochschulen. Das "Fachabi" berechtigt dich zum Studium aller Studiengänge  an Universität, bis auf wenige Ausnahmen (Medizin z.B.). Das sind also zwei verschiedene Paar Schuhe.

Ist mit Z6 der Faktorring Z/(6) gemeint ? Falls ja, dann besitzt dieser Nullteiler, nämlich gerade die Teiler von 6. das wären 2 und 3.
Z/(7) wäre Nullteilerfrei (ein Integritätsbereich), Z/(7) ist sogar ein Körper. Allgemein gilt , dass Z/(p) genau dann ein Körper ist , falls p eine Primzahl ist. (Relativ leicht zu zeigen) , für alle anderen p>1besitzt du immer Nullteiler, welche gerade die Teiler von p sind.

Falls nicht die Faktorringe gemeint sind , einfach nochmal schreiben

Schau mal hier , ganz unten :
http://public.rz.fh-wolfenbuettel.de/~harrieha/vl/mathe/2/arbeitsblaetter/komplexeleistungv2.pdf

Nein. Bewerbungsphase ist vom 02. Mai bis 15. Juli. Vorher kannst du dich auch nicht bewerben.

Das sind die Maxwell-Gleichungen, welche die Grundlage für die Elektrodynamik bilden.

Ich weiß nicht, wie bei euch an der Universität die Klausuren in Mikro- und Makro aussehen. Bei mir bestand die Mikro-Klausur hauptsächlich aus der Anwendung mathematischer Konzepte, daher "Berechne  die Menge, bei der xy Nutzen maximiert wir", "Berechnen Sie das kurzfristige Gleichgewicht". Für solche Fragen lässt sich am Besten mit Altklausuren lernen. Oftmals bekommt man durch die Fachschaften Zugang zu diesen. Außerdem kam in Mikro auch ein eher theoretischer Teil dran, der darauf abzielt, dein Verständnis für die Konzepte zu überprüfen. Daher Fragen wie zum Beispiel: "Ist die soziale Wohlfahrt in einem Monopol stets geringer als auf einem Wettbewerbsmarkt?". Hierzu ist es an Unis üblich, dass (freiwillig) Übungsblätter zu den Vorlesungsinhalten ausgegeben werden, diese waren, zumindest bei mir, sehr theoretisch, daher habe ich diese vor der Klausur nochmals, zusammen mit dem Skript, nochmals bearbeitet. Zusammenfassend für Mikro also:
Übungsblätter+ Altklausuren

Zu Makro lässt sich, zumindest aus meiner Sicht, sagen: Geh das Skript durch. Leihe dir das Buch "Makroökonomie" von Mankiew aus. Versuch die wirtschaftlichen Vorgänge nachzuvollziehen. "Was passiert mit dem realen Wechselkurs, falls die Staatsausgaben erhöht werden." Fang von klein an. Daher mit dem Investitions- und Ersparnismodell. Geh verschiedene Szenarien durch(diese findest du auch in oben genannten Buch) und überlege dir, auch graphisch, was im Modell vor sich geht. Vor allem hier sind Altklausuren ziemlich hilfreich. Egal von welchem Prof. Bei uns bestand Makro zu 100% aus Erklärungen zu verschiedenen Szenarien in den verschiedenen Modellen. Daher, man konnte sich nicht wie in Mikro durch irgendwelche "Rechenaufgaben" auf eine 4 retten. Ich kann dir hierfür wirklich nur das Fachbuch von Mankiew ans Herz legen. Dort wird jedes Modell erklärt und sehr ausführlich an mehreren (realen) Ereignissen angewandt, so dass du ein Gefühl dafür bekommst, was in den Modellen eigentlich vor sich geht und vor allem warum.
Stupides Auswendiglernen würde ich sowohl in Mikro- als auch in Makro vermeiden, dass wird dir (höchstwahrscheinlich) das Genick brechen. Lerne also nur Dinge auswendig, die man nicht wirklich verstehen kann, zum Beispiel etwaige Fachbegriffe o.Ä. Schlussendlich kommt es aber darauf an, wie dein Prof. die Klausur konzipiert

56^2 = 33^2 +k^2

<=> 56^2-33^2=k^2

<=>(56-33)(56+33)=k^2

<=>sqrt(23)*sqrt(89)=k

Genauer geht es nicht, da sowohl 23, als auch 89 Primzahlen sind.

Ach für Mathe muss man nicht wirklich lernen. Von den 500 Studenten die mit mir angefangen haben, war ein Großteil ebenfalls der Meinung. Habe diesen Teil seit einiger Zeit leider nicht mehr gesehen...Aber den knapp 80 Leuten, die ich des Öfteren in den Vorlesungen und auf dem Campus antreffe, macht das Studium spaß. Und darauf kommt es an.

[a] = {a, b, c} , [d] = {d} , Index = 2

Antwort a) ist richtig. Mit steigender Produktionsmenge steigen die Gesamtkosten( K'(x)>0), aber der Kostenzuwachs für die letzte produzierte Einheit nimmt ab, also K''(x)<0 . Man sagt dazu auch Gesetz der Massenproduktion.

Warum sollte 4 nicht transitiv sein? Nur weil das einzel Paare sind? Gehen wir es doch einfach mal durch

k ~ k und k ~ k => k ~ k und (k,k) ist Element der Relation

e ~ e und e ~ e => e ~ e und (e,e) ist Element der Relation

i ~ i und i ~ i => i ~ I und (i,i) ist Element der Relation

b ~ b und b ~ b =>  b ~ b und (b,b) ist Element der Relation

Ich sehe hier keine Fall, der die Transitivität verletzt.

Und inwiefern stellst du dir das vor? Das Nash-Gleichgewicht ist nichts was man anwendet, sondern eine Situation bei der keiner der Akteure von seiner Strategie abweicht. Dementsprechend müsstest du eine Situation schaffen, in der kein Mensch auf die Idee kommt, dass er sich durch irgendeine Handlung in irgendeiner Weise besser, im Vergleich zu einer anderen Person(en), stellen könnte und zwar in jeglicher Beziehung. Bin auf deine Ansätze sehr gespannt! VG