Lokale Extrema einer Funktion untersuchen?

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4 Antworten

Hallo!

Vorweg: Stelle solche Fragen doch lieber auf matheraum oder matheplanet, dort kann dir mMn besser geholfen werden. (zumal dort auch LaTeX unterstützt wird)

Zu deiner Frage:

Da du es mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion zu tun hast, kannst du die Bestimmung der lokalen Extrema fast genauso angehen wie im eindimensionalen Fall.

Der unterschied liegt darin, dass die Steigung deiner Funktion keine Zahl ist, sondern eine Matrix, auch Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix genannt.

Um die Funktionalmatrix aufzustellen benötigen wir die beiden partiellen Ableitungen, daher differenzieren wir einmal nach x1 und einmal nach x2. Wir halten

(1) d/dx1 f(x1,x2) = cos(x1)sin(x2)

(2) d/dx2 f(x1,x2) = sin(x1)cos(x2)

(Hier sieht man auch nochmal schön die Differenzierbarkeit der Funktion f, welche aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt.)

Nun ist die Jacobi-Matrix von f einfach die 1x2 Matrix mit den partiellen Ableitungen als Einträge, daher:

J(f(x1,x2)) = (cos(x1)sin(x2) , sin(x1)cos(x2))

Nun wissen wir ja aus dem Eindimensionalen, dass wir die Ableitung "0 setzen" und nach x auflösen müssen. Das funktioniert hier genauso! Also:

J(f(x1,x2)) = (0,0) 

daher (cos(x1)sin(x2) , sin(x1)cos(x2))  = (0,0)

Daraus erhalten wir zwei Gleichungen:

(i) cos(x1)sin(x2)  = 0

(ii) sin(x1)cos(x2) = 0

Scheint anfangs vielleicht schwer lösbar zu sein, aber da der Definitionsbereich auf -pi bis pi eingeschränkt ist, kann man das mit relativ wenig Aufwand lösen.

Der Sinus wird bei allen Vielfachen von pi Null. Da -pi und pi nicht mehr im Definitionsbereich sind, bleibt als Nullstelle vom Sinus nur noch der punkt x2= 0.  Damit wäre Gleichung (i) schonmal Null.

Setzen wir x2=0 in die zweite Gleichung ein und erinnern uns daran, dass cos(0)=1,  bleibt nur noch sin(x1) = 0. Und was wird wieder nur für x1=0 erfüllt.

Wir erhalten als potenzielle! extrem Stelle also den Punkt x=(0,0). Das ist natürlich nicht der Einzige. Wir wissen dass der Cosinus für -pi/2 und pi/2 ebenfalls null wird.

Daher erhalten wir als kritische Punkte z.B noch:

 x=(+-pi/2,+-pi/2) (Selben Überlegungen wie beim ersten Punkt!)

Damit erhalten wir also insgesamt 5 kritische Punkte.

Möchtest du jetzt noch überprüfen ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, geht das nicht mehr wie im eindimensionalen. Dort konnten wir über das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den kritsichen Punkten argumentieren ob es sich um Extremstellen handelt.

Die zweite Ableitung im Mehrdimensionalen ist nun wieder eine Matrix, diese nennt man Hesse-Matrix. Natürlich hat diese kein Vorzeichen im üblichen Sinne, so dass unsere Argumentation aus dem Eindimensionalen nicht funktioniert. Stattdessen kann man über die Definitheit der Hesse-Matrix auf die Existenz der lokalen Extrema schließen. Das zu zeigen ist normalerweise nicht mehr ganz so einfach.

Da wir aber stetige zweite partielle Ableitungen haben ist unsere Hesse-Matrix symmetrisch, sodass wir für die Definitheit, über die Hauptminoren, daher die "Unterdeterminanten" der Matrix untersuchen können. Andererseits könnte man die Definitheit der Matrix auch mittels Vorzeichen der Eigenwerte überprüfen.

Bestimmen wir also mal die zweiten partiellen Ableitungen.

(Ich schreibe hier für die die zweite partielle Ableitung, bei der erst nach x1 und dann nach x2 abgeleitet wurde nun f12(x1,x2))

f11(x1,x2) = -sin(x1)sin(x2)

f12(x1,x2) = cos(x1)cos(x2)

f22(x1,x2) = -sin(x1)sin(x2)

Aus dem Young-Theorem folgt direkt f21= f12, so dass wir diese nicht noch extra berechnen müssen.

Unsere Hesse Matrix sieht nun wie folgt aus:

H(f) =

(f11 f12)

(f21 f22)

(Ich hoffe es ist klar wie das gemeint ist, Matrizen lassen sich hier schlecht darstellen =( )

Nun müssen wir für jeden einzelnen Punkt die Definitheit der Matrix überprüfen. Ich mache das mal für den Punkt x=(0,0) vor und verwende hierbei die Methode über die Eigenwerte.

Setzen wir den Punkt in unsere Hesse Matrix ein, erhalten wir die Matrix

(0 1)

(1 0)

Die Eigenwerte dieser Matrix sind -1 und 1, unsere Matrix ist also indefinit. Damit folgt, dass unsere Funktion im Punkt x=(0,0) keine Extremstelle, sondern einen Sattelpunkt hat.

Die restlichen Punkte kannst du gerne mal selbst testen, das würde hier dann doch den Rahmen sprengen. Falls du weitere Fragen hast, gerne einen Kommentar unter dieser Antwort verfassen.

VG

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Kommentar von lks72
25.07.2016, 22:01

Sehr ausführlich! Da kann er sich eine Vorlesung sparen :-)

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Falls ich das richtig verstanden habe, was allerdings unwahrscheinlich ist, dass ich das habe, dann dürfen x_1 und x_2 jeweils von -π bis +π laufen.

Im Internet habe ich diese Webseite ausgebuddelt -->

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Extrema2Variable.pdf

Keine Ahnung, ob dir diese Webseite was bringt, auf jeden Fall musst du jede Menge partielle Ableitungen berechnen.

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Kommentar von Soelller
25.07.2016, 16:58

Hei, das hilft mir leider nicht, ich brauche ja konkret zu genau dieser Aufgabe hilfe, denn das Theoretische kann ich ja bereits.

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Ich kann es zwar auch nicht mehr, aber vielleicht hilft das hier:

http://www.wolframalpha.com

f(x1,x2) := sin(x1)*sin(x2)

Damit weißt du zumindest schon mal, wie das Ergebnis aussehen müsste.

Oder du fragst in einem Mathe-Forum, da gibt's mehr Experten ...

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