Zentripetaschleunigung?

Hey,

Kurze Frage. Ich habe mir soeben die Herleitung angeschaut und habe folgende Frage.

Man sagt ja, dass die Zentripetalbeschleunigung zum Mittelpunkt hingerichtet ist. Aus der Herleitung folgt ja aber, dass man die Geschwindigkeit durch die jeweiligen Geschwindigkeitsvektoren definiert. Diese Geschwindigkeit ist ja nicht zum Mittelpunkt hingerichtet. Anschließend kommt man zum Ausdruck, dass die die Bahngeschwindigkeit multipliziert mit der Winkelgeschwindigkeit die Beschleunigung widerspiegelt. Ich verstehe nicht den logischen Rückschluss, dass die Zentripetalbeschleunigung nach innen gerichtet ist. Was bringt mir die Zentripetalbeschleunigung (wo wird sie häufig verwendet)?.

Answer 1

[Clemens1973]

Gehen wir mal von einer kreisförmigen Bahnkurve aus, wobei v=const. Es gilt

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$

Dabei wurde die Winkelgeschwindigkeit omega so definiert, dass v, omega und r ein Rechtssystem bilden. Die Beschleunigung ist dann einfach die zeitliche Ableitung. Wenn omega=const., gilt

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\omega\times \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\omega\times\vec{v}$

Dass der Vektor a zum Mittelpunkt der Bahn gerichtet ist, folgt aus dem Vektorprodukt (rechte-Hand-Regel). Es ist aber auch anschaulich klar, wenn man sich überlegt, wie die Geschwindigkeitsvektoren zu zwei Zeiten t und t+Delta t aussehen.

Für was dies nun gut ist? Nun, eine Kreisbahn - oder allgemein jede gekrümmte Bahn - bedingt offensichtlich, dass eine Kraftkomponente existiert, die zum Krümmungsmittelpunkt hin gerichtet ist. Z.B. bei einer Kurvenfahrt: von der Fahrbahn muss eine entsprechende (Haftreibungs-)Kraft auf das Fahrzeug wirken.

Oft entstehen Unklarheiten, wenn die Begriffe Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft durcheinandergebracht werden. Letztere tritt in rotierenden, also beschleunigten Bezugssystemen auf und muss eingeführt werden, damit die Gleichung

$\vec{F}_\mathrm{res}=m\vec{a}$

auch in einem solchen System gilt.

Als Beispiel wieder die Situation mit einem Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt. In einem Inertialsystem ("von aussen") betrachtet tritt eine Zentripetalbeschleunigung nach innen auf. Folglich muss eine Kraft nach innen wirken, z.B. durch ein Seil, an dem der Körper befestigt ist.

In einem System, das mit dem Körper mitrotiert, befindet sich der Körper aber in Ruhe, obwohl dieselbe Seilkraft nach innen wirkt. Zusammen mit einer betragsmässig gleichgrossen, nach aussen gerichteten Zentrifugalkraft wird die resultierende Kraft gleich null, sodass auch hier formal das 2. Newtonsche Gesetz gilt.