Zeigen dass Relation äquivalenzrelation ist?
Hey ,
also ich habe folgende Relation : (a,b) ~ (c,d) . Diese ist so definiert : a + b = c + d
Ich soll zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist.
Reflexiv: a +b = a + b gilt ja offensichtlich, also (a,b) ~ (a,b)
symmetrisch : a+ b = c+d -> a+b -(c+d) = 0 -> -(c+d) = - (a+b) -> c+d = a + b also (c,d) ~ (a,b)
Hier kann man theoretisch auch direkt sagen dass die symmetrie gilt , wollte es aber bisschen mathematischer.
transitivität:
(a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ ( e,f) gilt
dann kann man sagen, da reflexivität gilt:
(c,d) ~ (c,d) -> a + b = c + d = c+ d
da c + d = e + f gilt können wir c + d ersetzen. Also a + b = c + d = e + f und damit a+b = e + f und (a,b ) ~ (e,f)
hier gilt natürlich auch wieder ich könnte direkt sagen , dass es gilt aber mich würde interessieren ob diese Begründung auch legitim ist.
Gruß
3 Antworten
Reflexiv: a+b = a+b --> (a,b) ~ (a,b)
Symmetrisch : (a,b) ~ (c,d) --> a+b = c+d --> c+d = a+b --> (c,d) ~ (a,b)
Transitiv: (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (e,f) --> a+b = c+d und c+d = e+f --> a+b = e+f --> (a,b) ~ (e,f)
Ich habe versucht zu zeigen, wie man das möglichst kurz, aber formal korrekt macht. Deine Ausführungen sind auch korrekt, aber etwas umständlich.
Ja, deine wäre natürlich um einiges Übersichtlicher. Danke dir.
Es ist legitim das ohne Beweise als gegeben hinzunehmen Ausser es ist eine Übungsaufgaben zum Thema.
Es wird klar wenn man abstrakter wird: Dann ist deine Relation durch eine Funktion induzierte Äquivalenzrelation: a R b gdw. f(a)=f(b)
Wie ist dann der Beweis wenn man einen machen möchte
Folgt aus dem das = eine Äquivalenzrelation ist Bzw mit Details
f(a)=f(a) folgt a R a
aRb folgt fa=fb folgt fb=fa folgt bR
aRb und bRc folgt fa=fb und fb=fc folgt fa=FC folgt aRc
Ich verstehe beim.besten Willen nicht wie die Reflektivitlt bei dircin den Teansitivitätsbeweis einfließen.
Dein Symetrieargument ist unnötig unübersichtlich
Die Begründung ist sehr gut, da brauchst du keine Bedenken zu haben.
Ich hoffe, das hat dir geholfen :)
danke, aber mich würde interessieren ob man es auch so machen könnte wie ich obwohl es mehr Schritte sind als benötigt.