Wozu brauche ich Primfaktorzerlegung in der Mathematik?
Mir ist klar wie es funktionier doch was bringt mir das?
Wenn ich jetzt z.B. antsatt 15 35 schreibe was bringt mir das?
Natürlich 3*5 nicht 35
5 Antworten
Wenn du dein Abitur mit Mathematik Leistungskurs gemacht hast, hast du eventuell 2% der mathematischen Domäne gesehen. Deshalb ist klar, dass einem der Sinn der Primfaktorzerlegung zu diesem Zeitpunkt nicht vollends bewusst ist.
Fangen wir mal mit einer Sache an, die einem in der Schulzeit ganz sicher über den Weg läuft: Wenn du einen Bruch kürzen willst, wendest du indirekt Primfaktorzerlegung an. Nenner und Zähler müssen durch die zu kürzende Zahl ohne Rest teilbar sein. Die zu teilende Zahl ist entweder eine Primzahl oder selber wieder in Primzahlen zerlegbar.
Nun ist das kürzen von Brüchen erst einmal ein Selbstzweck, der ja auch hinterfragt werden müsste. Meistens passiert das immer im Kontext einer Textaufgabe die Realitätsbezug suggeriert.
Kommen wir zu dem wirklichen Beef:
Primfaktorzerlegung ist zum Beispiel Thema in der Verschlüsselung. Du wirst gemerkt haben, dass je größer die Primzahlen sind, in die man eine Zahl zerlegen kann, es zunehmend schwieriger wird, diese Primzahlen zu finden. Beispiel: Versuche mal eine Primfaktorzerlegung der folgenden Zahl: 27263. Viel Spaß... Und diese Zahl ist noch nicht einmal groß. Ab einer gewissen Größe wird es selbst für Supercomputer unmöglich eine Faktorisierung in menschlichen Zeitdimensionen vorzunehmen. Und genau dieser Fakt wird bei der Verschlüsselung ausgenutzt. Wie das konkret passiert ist Hochschulmathematik und zum Beispiel im Thema RSA-Verschlüsselung nachzulesen: https://de.wikipedia.org/wiki/RSA-Kryptosystem
Jedesmal wenn du eine Internetadresse öffnest mit dem Prefix "https", wie es auch bei Gutefrage.net der Fall ist, wird eine Verschlüsselung deiner Daten zwischen deinem Browser und dem Server vorgenommen, die aus dem Grund sicher ist, dass eben die Primfaktorzerlegung eine HEUTE komplexe Aufgabenstellung ist. Sollte das irgendwann nicht mehr so sein, wäre Kommunikation über des Internet unsicher.
Für Schüler ist die Primfaktorzerlegung wichtig, da man mit ihr leicht das ggT und das kgV bestimmen kann.
Für Mathematiker ist die Primfaktorzerlegung z.B. wichtig in der Kryptografie (RSA-Verfahren und teilweise auch Diffie-Hellmann-Schlüssel) und für elementare Beweise bezüglich von Primzahlen.
Also das bringt ziemlich viel, auch wenn du dir das jetzt vielleicht noch nicht vorstellen kannst, denn besonders die kryptografischen Aspekte der PFZ benutzt dein Handy/Computer jetzt in dieser Sekunde.
Bruchrechnen.
15 / 27 + 4 / 135
Primfaktorzerlegung von 27 und 135 und dann kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache finden. Ansonsten müsstest du dumm: 27*135 rechnen für den Hauptnenner.
für den Rest ist es gut die Quadratzahlen mind, bis 19x19 auswendig zu kennen, denn dann weisst du z.B. dass bei einem Rest von 137 bereits wenn du bei 11 angekommen bist schluss ist. Denn die Nächste Quadratzahl wäre 13x13 = 169 und das ist größer 137.
Das hilft zur Bestimmung von semidirekten Produkten.
Mit Primfaktoren kannst du zum Beispiel leicht den größten, gemeinsamen Teiler oder das kleinste, gemeinsame Vielfache finden.
Das "bringt" dir aber so gesehen auch nichts. Mathe ist und bleibt für die meisten über das Kopfrechnen hinaus reine Theorie.
Aber auch Inhalte anderer Fächer lassen sich leicht infrage stellen. Was bringt es zum Beispiel, eine gute Rechtschreibung zu haben?
Klar, man könnte sagen, dass man dadurch einen guten Job bekommt. Aber so ein Argument kann man auch für Mathe verwenden. Ist man gut in Mathe, ist man beruflich qualifizierter.
Ich wage es zu behaupten, dass man ab der 5. oder 6. Klasse nur noch wenig fürs eigentliche Leben lernt. Es geht von da an nur noch um die berufliche Qualifikation.
Soviel zur Frage "Was bringt...?"
Wenn ich mir die Fragen und Antworten bzgl. CORONA hier auf GF anschaue, hätte ich vielen Menschen geraten in der Schule bei Stochastik, Intergal/Differntial/Regressionsrechnung aufzupassen. Denn in der aktuellen Epidemiedebatte kommt genau das alles zusammen, wenn man wirklich qualifiziert mitreden möchte. Und das passiert aktuell fast gar nicht.
Primfaktorzerlegung geht für kleine Zahlen ganz einfach, viel einfacher als sonst irgendwie rauszufinden was sich kürzen lässt:
wenn die Zahl gerade ist, (2, 4, 6, 8, 0 am Ende) kannst du schonmal durch 2 teilen und erhälst einen Faktor und der Rest ist kleiner --- solange wiederholen bis der Rest nicht mehr gerade ist.
wenn die Zahl mit 5 endet, so ist die ganze zahl durch 5 teilbar. -- wieder solange wiederholen bis der Rest nicht mehr durch 5.
wenn die Summe der Zahl durch 3 teilbar ist, so ist der Faktor 3 in der ganzen zahl. Das 3er 1x1 solltest du auswendig kennen. (mind bis 19x3).
ab 7 dann jeweils immer um 2 weiter probieren bis maximal der untersuchte faktor mit sich selbst mal genommen größer als die zahl ist, dann ist der Rest eine Primzahl. (9, 15, 21, ... usw. alles was schon aus mehr als einem Faktor besteht natürlich brauchst du nicht erneut probieren, wenn du es aber machst schadet es auch nicht -- kommt halt nur keine weitere zerlegung raus).