Wieso haben Tag und Nacht am 21. März und 23. September die gleiche Länge (auf der Süd- und Nordhalbkugel)?

weil das die beiden Punkte im Jahr sind, an denen die Sonne genau senkrecht zur Erdachse steht. Jede Abweichung vom Lot bedeutet eine Veränderung der Tages-/Nachtlänge.

Die Erde ist die ganze Zeit 'schräg', wie du siehst, hat das den Einfluss, dass die Sonne im Sommer (in unserem deutschen Sommer wohlgemerkt) eher die nördliche Halbkugel direkter bestrahlt und das auch länger, während es im Winter eher die südliche ist.

Dieser Effekt ist übergehend, das heißt am stärksten im 'Hochsommer' und 'Tiefwinter', der Übergang findet am 21. März und 23. September statt, das ist, dann, wenn die Sonne nicht mehr besonders nördlich oder südlich einscheint, sondern einfach seitlich, dann ist der Tag also genau gleich lang.

Weil dann Tag- und Nachtgleiche herrschen, d.h. zu diesem Zeitpunkt steht die Sonne mittags genau über dem Äquator senkrecht und der Tag ist überall auf der Erde gleich lang.