Wieso darf in der Mathematik nicht durch Null geteilt werden?

10 Antworten

Du "darfst" deshalb nicht durch 0 teilen, weil Division auch als Multiplikation mit dem Kehrwert definiert ist und 0 keinen hat. Die 0 ist ein großer "Plattmacher" in dem Sinne, dass 0*x≡0 für jede natürliche, ganze, rationale oder reelle oder komplexe Zahl x gilt (jede Menge enthält die vorherige). Insbesondere existiert keine Zahl x, für die eindeutig 0*x=1 gälte, was ja den Kehrwert ausmacht.

Man könnte nun einfach ∞ als neue Zahl hinzufügen und behaupten, dies sei der Kehrwert von 0, und dies tut man sogar zuweilen, man nennt das Ergebnis "erweiterte reelle Zahlen".

Allerdings wirft diese Aktion mehr Fragen auf, als sie klärt:
Offensichtlich ist für jede beliebige positive Zahl x ∞+x=∞=x+∞=∞ und ∞*x=x*∞=∞.
Für jedes positive x<∞ ist zudem ∞-x=∞ und ∞/x=∞.

Außerdem ist 0=-0, aber ∞≠-∞ (außer etwa auf dem Riemannschen Zahlenkreis, der für komplexe Zahlen eine Kugel ist, deren Äquator alle Zahlen mit Betrag 1 darstellt und deren Pole 0 und ∞).
Außerdem kann man mit der "Definition" von ∞ als "Kehrwert von 0" mit ∞ genauso viel Blödsinn beweisen wie mit der Division durch 0 selbst.

Die mangelnde Eindeutigkeit ist das Problem, nicht etwa die Unendlichkeit eines potentiellen Kehrwertes von 0.

Selbst die im 18. Jhd. von Gottfried Wilhelm Leibnitz vorgedachte und 1961 von Abraham Robinson entwickelte Nichtstandardanalysis, die erstmals mathematisch sauber wirklich unendliche und infinitesimale (unendlich nahe bei 0 liegende) Zahlen definiert, kennt keine Division durch 0 selbst und auch nicht nur ein ∞, sondern eben eine ganze Menge unendlicher Zahlen, von denen jede ihren ureigensten eindeutig bestimmten Kehrwert besitzt, der der 0 zwar infinitesimal benachbart, aber nicht mit ihr identisch ist.

Division beantwortet die Frage, mit welcher Zahl (Faktor) man eine gegebene Zahl (hier: Null) malnehmen muß, um das Produkt zu erhalten. Offensichtlich gibt es keine Zahl, die mit Null multipliziert ein anderes Ergebnis als Null hat. Daher ist die Division durch Null nicht definiert und auch nicht sinnvoll. Das hat nichts mit Verboten, sondern mit mathematischer Korrektheit und (im weiteren Sinne) Logik zu tun.

Weil man durch 0 einfach nicht teilen kann das ist unmöglich. Wenn in einen Raum ein Kuchen ist kann man ihn auch nicht durch 0 Leute teilen weil ja niemand im Raum ist. Wenn du im Raum wärst wäre der Kuchen durch 1 geteilt und du bekämst den ganzen. Wenn aber 0 Leute also niemand da ist kann den Kuchen auch niemand Teilen. 

Auch das überzeugt nicht, denn du kannst keinen Kuchen (also Null) auch ohne Probleme an niemanden verteilen (also Null Leute), du musst dazu nicht mal wissen wie viel jeder nicht bekommt....;-)

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Man darf deswegen nicht durch Null dividieren, weil die Möglichkeit einer solchen Division zu widersprüchlichen Ergebnissen von Berechnungen führen kann.

Ein Beispiel: 0 = 0 ist eine wahre Aussage, 3·0 = 2·0 ebenfalls. Wenn man jetzt allerdings durch Null kürzen würde, käme 3 = 2 heraus, eine falsche Aussage. Man hätte also durch die Division durch Null eine wahre Aussage in eine falsche umgewandelt!

Noch ein Beispiel: 10:5 = 2, und 2·5 = 10 – logisch, das eine ist die Probe vom anderen. Bei 1:0 = x wäre aber die Probe 0·x = 1 und das geht nicht, weil keine Zahl existieren kann, die mit 0 multipliziert etwas Anderes als 0 ergibt!

Die Division durch Null führt also zu paradoxen Situationen, es würde ein Zulassen Berechnungen unmöglich beziehungsweise, salopp formuliert, die Mathematik kaputt machen. Eine Division durch Null ist logisch widersinnig, und daher ausgeschlossen.

PS: Die Aussage 1:0 = ∞ ist mit Vorsicht zu genießen. Lehrkräfte, die einem sowas sagen, verwirren einen eher. Das Ganze hat nämlich etwas mit Infinitesimalrechnung zu tun, der Nuller in diesem 1:0 ist kein „echter“ Nuller, sondern ein unendlich kleiner, aber dennoch vorhandener Wert … aber das würde hier zu weit führen, man mache sich also keine Gedanken darüber, die Division durch Null ist prinzipiell unmöglich, und aus.

Ab der 11ten Klasse erkläre auch ich meinen SchülerInnen, dass sich eine Zahl DOCH durch Null teilen lässt, nämlich die Null selbst.

Der prinzipielle Beleg ist schnell erbracht:

Eine Zahl a ist genau dann durch eine andere Zahl b (ganzzahlig) teilbar, wenn es eine ganze Zahl k gibt, für die gilt b•k=a

Also z.B. ist 10 durch 2 teilbar, weil 2•5=10 ist.

Nun zur Null: Netter Weise gilt für jedes beliebige k sogar:

0•k=0

Also z.B. 0•1=0. Daher teilt die Null die Null.

Man bracht dieses Phänomen - bzw. muss es verdauen können - wenn man vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten übergeht, weil im Bruch Zähler und eben auch Nenner gegen den Grenzwert Null konvergiere. Der Bruch also solcher allerdings konvergiert bei an dieser Stelle differenzierbaren Funktionen eben gegen die Steigung an dieser Stelle. Unser k.

Wem das zu hoch ist, der übersteht das Mathematikgrundstudium in Göttingen nicht, kann aber sehr wohl ein gutes Matheabitur in Niedersachsen ablegen.

Viel Spaß!

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