Wieso darf in der Mathematik nicht durch Null geteilt werden?

22 Antworten

Ab der 11ten Klasse erkläre auch ich meinen SchülerInnen, dass sich eine Zahl DOCH durch Null teilen lässt, nämlich die Null selbst.

Der prinzipielle Beleg ist schnell erbracht:

Eine Zahl a ist genau dann durch eine andere Zahl b (ganzzahlig) teilbar, wenn es eine ganze Zahl k gibt, für die gilt b•k=a

Also z.B. ist 10 durch 2 teilbar, weil 2•5=10 ist.

Nun zur Null: Netter Weise gilt für jedes beliebige k sogar:

0•k=0

Also z.B. 0•1=0. Daher teilt die Null die Null.

Man bracht dieses Phänomen - bzw. muss es verdauen können - wenn man vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten übergeht, weil im Bruch Zähler und eben auch Nenner gegen den Grenzwert Null konvergiere. Der Bruch also solcher allerdings konvergiert bei an dieser Stelle differenzierbaren Funktionen eben gegen die Steigung an dieser Stelle. Unser k.

Wem das zu hoch ist, der übersteht das Mathematikgrundstudium in Göttingen nicht, kann aber sehr wohl ein gutes Matheabitur in Niedersachsen ablegen.

Viel Spaß!

Klar darf man in der Mathematik durch "0" teilen, wir sonst dürften wir ja nicht mit "0" multiplizieren. Um das konkreter zu machen:

  • 4 × 8 = 32 --> 32 ÷ 8 = 4 & 32 ÷ 4 = 8

  • 3 × 1 = 3 --> 3 ÷ 1 = 3 & 3 ÷ 3 = 1

Das stimmt noch alles, aber jetzt...

  • 0 × 3 = 0 --> 0 ÷ 3 = 0 & 0 ÷ 0 = 3

stimmt das immer noch. Jetzt müssen wir berücksichtigen, dass wir ja nicht nur die Null durch die Null teilen können, sondern auch z.B. die Eins oder die Drei durch Null teilen können. Geht auch, wie folgt:

  • 1 ÷ 0 = ∞ --> ∞ × 0 = 1

  • 3 ÷ 0 = 3∞ --> 3∞ × 0 = 3

Das hieße aber auch, und das ist auch richtig:

  • 1 ÷ 1∞ = 0

  • 3 ÷ 3∞ = 0

Fazit: man kann durch Null teilen, man kommt nur in das Unendliche herein. Was ist unendlich, um uns das bildlicher vorzustellen? Ganz einfach: Eine Gerade, denn die hat weder Anfang noch Ende. Man muss sich das nur ein Stück weit erarbeiten... Hoffe konnte helfen.

Ich in der schule erst jahre lang gelernt das durch 0 teilen nicht möglich ist,

Das stimmt, es ist nicht möglich.

und dann in der 11 klasse lernten wir das es prinzipiell schon möglich ist, das ergebnis dann aber gegen unendlich geht...

Eine Ergebnis "geht" nicht irgendwohin. Wie sollte das auch möglich sein? Ein Ergebnis ist ein Ergebnis ist ein Ergebnis und "geht" nirgendwohin.

Es gilt vielmehr:

  • 1/0 nicht definiert
  • lim (x->0) 1/x = unendlich

Beim Limes "geht" kein Ergebnis irgendwohin, sondern x geht gegen 0, daher geht dann 1/x gegen unendlich, und daher ist das Ergebis des Limes unendlich. Und hier wird niemals durch 0 dividiert. Das x ist hier niemals 0, sonst wäre 1/x nicht definiert. Sondern x geht gegen 0.

Nochmal zum Mitschreiben:

  1. Das "unendlich" ist nicht und niemals Ergebnis einer Division, sondern (beim zweiten Fall) der Limes-Bildung.
  2. Das Ergebnis "geht" nirgendwohin, sondern wenn x gegen 0 geht, dann geht 1/x gegen unendlich, weswegen "unendlich" das Ergebnis des Limes ist.
  3. Es wird hier nirgends, nirgends, nirgends durch 0 dividiert.
  4. Division durch 0 ist NIEMALS erlaubt.

was ist den nun allgemein gültig?

Dass man nicht durch 0 teilen darf.

Und dass man den Grenzwertbegriff verstehen sollte, wenn man ihn verwenden will - das ist, wie bei allen anderen Begriffen - natürlich auch allgemeingültig.

Ich sag das jetzt mal so: "Teilen" bedeutet im eigentlichen Sinn doch, dass eine Sache "aufgeteilt" wird (meinetwegen auch durch 1, dann kriegt einer alles). "Teilen" durch "Null" geht deswegen nicht, weil das einfach keine Teilung IST. Das wäre noch weniger "geteilt", als wenn einer seine Pizza durch 1 teilt, also selbige alleine aufisst. Bei Teilung einer Pizza durch Null wäre ja nicht mal 'ne Pizza VORHANDEN!

Und wenn ich durch 0,5 teile habe ich schon zwei Pizzen. Jetzt verstehe ich auch die Speisung der fünftausend!

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Lach....Doch, die Pizza wäre sogar unendlich gross.

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@Knowledge

...kann ich auch mein Geld durch 0,5 teilen? ;-)

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super Vergleich.

Teilen durch null: Der Pizzabote steht an der Tür und keiner macht auf.

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Man darf deswegen nicht durch Null dividieren, weil die Möglichkeit einer solchen Division zu widersprüchlichen Ergebnissen von Berechnungen führen kann.

Ein Beispiel: 0 = 0 ist eine wahre Aussage, 3·0 = 2·0 ebenfalls. Wenn man jetzt allerdings durch Null kürzen würde, käme 3 = 2 heraus, eine falsche Aussage. Man hätte also durch die Division durch Null eine wahre Aussage in eine falsche umgewandelt!

Noch ein Beispiel: 10:5 = 2, und 2·5 = 10 – logisch, das eine ist die Probe vom anderen. Bei 1:0 = x wäre aber die Probe 0·x = 1 und das geht nicht, weil keine Zahl existieren kann, die mit 0 multipliziert etwas Anderes als 0 ergibt!

Die Division durch Null führt also zu paradoxen Situationen, es würde ein Zulassen Berechnungen unmöglich beziehungsweise, salopp formuliert, die Mathematik kaputt machen. Eine Division durch Null ist logisch widersinnig, und daher ausgeschlossen.

PS: Die Aussage 1:0 = ∞ ist mit Vorsicht zu genießen. Lehrkräfte, die einem sowas sagen, verwirren einen eher. Das Ganze hat nämlich etwas mit Infinitesimalrechnung zu tun, der Nuller in diesem 1:0 ist kein „echter“ Nuller, sondern ein unendlich kleiner, aber dennoch vorhandener Wert … aber das würde hier zu weit führen, man mache sich also keine Gedanken darüber, die Division durch Null ist prinzipiell unmöglich, und aus.

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