Gedankenspiel, was wenn ich 1 unendlich oft durch eine Zahl dividiere?

9 Antworten

Du bist gerade auf dem Weg der Grenzwerte und musst lernen:

§1: Mathematik kennt keine Grenzen nach oben und unten: man kann theoretisch unendlich klein und groß werden.

§2 Reale Welt (Physik) kennt überall Grenzen nach unten (Planck-Einheiten wie Zeit, Weg, Energie usw.) und Obergrenzen (Energie, Geschwindigkeit, Welt-Alter, Entfernung ...)

Solange Du beides sauber voneinander trennst, bleibt alles logisch:

lim (1/2)^n mit n gegen unendlich wird 0 oder anders:

a/{ Produkt b*b*...}=a/b^unendlich= a/ unendlich = 0

e^(-unendlich) = 0

Abstände halbieren bedeutet Betrachtungsweg halbieren. Spätestens bei der Planck-Länge kann man nicht mehr halbieren und gleich der nächste Betrachtungs-Punkt bedeutet: "angekommen".

Wenn man §2 nicht beachtet, kommt man zu Paradoxen:

a) Archimedes & Schildkröte, die angeblich nie eingeholt werden kann

b) Gabriels Horn: ein Gefäß mit endlichem Inhalt hat nach der theoretischen Mathematik eine unendlich große Oberfläche siehe Wikipedia

usw.

(Die Hand beschleunigt zwar auf dem Weg zum Gesicht, aber hier lasse ich
das mal weg, weil es ums Prinzipielle geht. Ich nehme die
Geschwindigkeit der Hand also als konstant "hoch" an.)

Der Abstand halbiert sich mit jedem Berechnungsschritt, aber die Zeit, die zwischen den Schritten vergeht, tut es auch. Du hast also einen Folge von Werten für den Abstand der Hand zum Gesicht, deren Grenzwert 0 ist. Und du hast eine weitere Folge von Werten, nämlich die Länge der betrachteten Zeitabschnitte, deren Grenzwert ebenfalls 0 ist.

Jetzt teilst du einen Grenzwert durch einen anderen. Das ist intuitiv das, was sich "richtig" anfühlt, aber in der Mathematik passieren beim Teilen (oder Multiplizieren, Addieren, ...) von Grenzwerten oft unangenehme Dinge, wenn man nicht ganz genau hinsieht, und dann wird das Ergebnis schnell falsch - hier erscheint es daher, als würde die Hand nie das Gesicht berühren.

Das Problem ist als "doppelter Grenzübergang" bekannt. Wenn du nicht die Grenzwerte für den Abstand und für die Länge des Zeitabschnitts durch einander teilst, sondern den Grenzwert des gemeinsamen Quotienten "Abstand pro Zeiteinheit" bildest, hast du wieder die konstante Geschwindigkeit der Hand - die im Ergebnis dann eben doch das Gesicht erreicht und einen nicht nur grenzwertmäßig theoretischen, sondern durchaus handfest sichtbaren Abdruck hinterlässt.

Bei deinem ersten Fall ist es ein exponentieller Zerfall, das heißt die 0 wird niemals erreicht und ist damit eine Asymptote. Bei deinem zweiten Fall (Backpfeife) ist es kein exponentieller Zerfall, das hieße nämlich, dass die Geschwindigkeit der Hand immer Weiter halbiert wird (was aber wahrscheinlich nicht der Fall ist, denn wenn man jemanden schlagen will, dann soll es ja auch weh tun) und dadurch bleibt die Geschwindigkeit gleich und der Abstand wird gleichmäßig kleiner, nicht exponentiell.

Was möchtest Du wissen?