Wie zeige ich hier, dass M offen, abgeschlossen und nicht leer ist?

Hallo,

Ich stecke bei einer Übung mal wieder fest. Und zwar muss zeigen, dass für analytische Funktionen f: I -> R und

N := {x ∈ I : f(x) = 0} (nicht diskret) M := {x ∈ I : (f^(k) (x) = 0 für alle k ∈ N0}

M nicht leer, offen und abgeschlossen ist. Daraus soll ich dann folgen, dass M=I ist.

Ich habe leider absolut keine Ahnung, was ich mir hier vorstellen könnte, und wäre für jeden Ansatz sehr dankbar.

Danke im Vorraus für eure Antworten

Answer 1

[RitterToby08]

Eine schöne Aufgabe. Ich gehe davon aus, dass du dir alle benötigten Definitionen schon angeschaut hast und I ein Intervall ist (ansonsten folgt M=I nicht unbedingt). Ich werde dir mal ein paar Tipps geben. Zu erst einmal gibt es für jeden Punkt x0 aus I eine (offene) Umgebung V(x0), für die gilt:

$\forall x\in V:\ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(x-x_0\right)^n$

M nicht leer:

Da N nicht diskret ist, gibt es ein x0 in N, sodass für alle offenen Umgebungen U von x0 ein y in UnN gibt mit y≠x0. Daraus kannst du eine Folge yk konstruieren, die gegen x0 konvergiert und die in N liegt. Du kannst die Folge auch so wählen, dass sie ebenso in V(x0) liegt. Nun überleg dir warum f^(n)(x0)=a(n)*n! gilt. Also liegt x0 in M genau dann, wenn a(n)=0 für alle n. Da f(x0)=0 müssen wir es nur für n>0 zeigen. Für a(1) berechne:

$\frac{f\left(y_k\right)-f\left(x_0\right)}{y_k-x_0}\rightarrow_{k\rightarrow\infty}$

Dafür kannst du die Potenzreihenentwicklung verwenden. Folgere aus obigen Grenzwert, dass a(1)=0 sein muss. (Wie ist die Definition der ersten Ableitung). Die anderen an sind dann 0 aufgrund eines Induktionsarguments. Daher gilt x0 in M.

M offen:

Wähle ein x0 aus M und eine offene Umgebung V(x0), in der wir f als Potenzreihe darstellen können. Wir wollen zeigen, dass jedes x aus V(x0) auch in M liegt, daraus folgt dann dass M offen ist. Aus f^(n)(x0)=a(n)*n! und x0 in M siehst du an=0. Mittels der Potenzreihendarstellung überlegt man sich schnell, dass f^(n)(x)=0 für alle x aus V(x0).

M abgeschlossen:

Schreibe M als Schnitt von Urbildern stetiger Funktionen.

M=I:

Verwende (und zeige evtl. noch), dass eine abgeschlossene und offene Teilmenge eines zusammenhängenden Raumes entweder leer oder der ganze Raum ist.