Wie würdet ihr den Lösungsweg zu Aufgabe 10 wählen?
Wie würdet ihr den Lösungsweg zu Aufgabe 10 wählen?
2 Antworten
Das ist der berühmte Klassiker von Pythagoras, minimal verändert.
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Länge der Diagonale des Quadrats als 5*Wurzel(2)
Das ist eine irrationale Zahl, und das kann man beweisen indem man annimmt es wäre rational und das zu einem Widerspruch führt: sei diese Wurzel = a/b mit natürlichen Zahlen a und b, dann ist das Quadrat davon a²/b² = (5*wurzel(2))²
Das ergibt dann a² = b²*25*2. Beide Seiten sind nun natürlichen Zahlen und haben daher eine eindeutige Primzahlfaktorisierung. Aber in a*a kommt die 2 nur in gerader Anzahl als Faktor vor, in den anderen Seite aber in ungerader Anzahl. Das ist ein Widerspruch, darum kann diese Wurzel keine rationale Zahl sein. qed.
Die Diagonale hat laut Pythagoras die Länge l:
l^2 = 5^2 + 5^2 = 50
l = √50 = √(25 * 2) = 5√2
Die Zahl ist irrational, da die √2 irrational ist. Daran ändert sich auch nichts durch die Multiplikation mit 5.