Wie wendet man die Substitution an (Kurvendiskussion)?

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5 Antworten

f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 2

z = x ^ 2

f(z) = z ^ 2 + 2 * z

Nullstellen berechnen -->

z ^ 2 + 2 * z = 0

z ausklammern -->

z * (z + 2) = 0

Merksatz : Ein Produkt hat den Wert Null, wenn eines seiner Faktoren den Wert Null hat.

z _ 1 = 0 (Wegen dem ausgeklammerten z und wegen dem Merksatz !)

z + 2 = 0 | -2

z _ 2 = -2

Zusammenfassung -->

z _ 1 = 0

z _ 2 = -2

Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = ∓ √(z)

Die Rücksubstitution wird sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 angewendet.

x _ 1 = - √(0) = 0

x _ 2 = + √(0) = 0

x _ 3 = - √(-2) = - i * √(2)

x _ 4 = + √(-2) = + i * √(2)

i = imaginäre Einheit

f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 hat nur x = 0 als doppelte reelle Nullstelle, die anderen beiden Nullstellen sind Nullstellen in den imaginären Zahlen.

Es gilt außerdem -->

f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 = x ^ 2 * (x + i * √(2)) * (x - i * √(2))

x ^ 2 deshalb, weil x = 0 eine doppelte Nullstelle ist.

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/typische-fragestellungen-der-kurvendiskussion/nullstellen/linearfaktordarstellung

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Hallo,

klammere doch einfach x² aus: x²*(x²+2)=0

Dann hast Du die Nullstelle einmal da, wo x² Null wird, also bei x=0, und da,
wo x²+2=0 wird.

Die Gleichung x²+2=0 hat aber im Raum der reellen Zahlen keine Lösung:

x²=-2, dann wäre x die Wurzel aus -2; die wirst Du in R nicht finden.

Also liegt die einzige Nullstelle bei x=0. Substitution ist nicht nötig.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Supersuy
22.02.2016, 17:17

Ach soo, dann besitzt die Funktion also nur eine Nullstelle und zwar 0. okay, vielen Dank :)

1

0 = x^4 + 2x²
x^4 = - 2x²

Gerade Potenzen ergeben IMMER positive Zahlen.
=> x^4 ≥ 0   und   x² ≥ 0   für alle x
=> Nur für x=0 ist diese Gleichung erfüllt!

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Ersetzte x^2 durch z

dadurch erhälst du dann: f(z)=z^2+2z

dann kannst du  das ausrechnen und wieder in die obere Funktion einsetzen

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Kommentar von Supersuy
22.02.2016, 17:14

Wie werde ich aber das z los? Also auch wenn ich jetzt -2z rechne, sehe die Gleichung folgendermaßen aus:

-2z = z^2 

Und die Wurzel könnte ich nicht ziehen, denn wie soll dann das z ohne Hoch zwei aussehen?

0

Hi ja klar kannst du da substituieren.

Dazu musst du einfach x^2=z , also praktisch statt x hoch 2 z hinschreiben

Dann lautet die Gleichung:

f(x)=z^2+2z

Und dann musst du mit der Mitternachtsformel weiterrechnen und dann halt wieder rücksubstituieren, also statt z jetzt wieder x hoch 2 schreiben. Dann musst du die Wurzel des Ergebnisses ziehen um auf die Nullstelle zu kommen

Nach meiner Rechnung kommt dann aber auch eine negative Zahl unter der Wurzel raus und 0.

Aber vielleicht gibt es dann nur 0 als Nullstelle

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