Wie stelle ich eine allgemeine Stammfunktion auf?
Gegeben ist diese Aufgabe:
Die Teilaufgaben a) und c) habe ich schon hinbekommen, aber bei der b) bin ich etwas verwirrt.
Ich habe z.B. a=1 gesetzt, und dann die 1. bis 3. Ableitung gerechnet:
- Ableitung: f'(x)=-(x-2)*e^(-x)
- Ableitung: f''(x)=(x-3)*e^(-x)
- Ableitung: f'''(x)=-(x-4)*e^(-x)
Wenn man weiß, welche Ableitung man vor sich hat, kann man sie Stammfunktion so bilden: (-1)^n*(x-n)*e^(-x), wobei n der "Ableitungsgrad" der vorliegenden Ableitung ist.
Ich habe aber keine Ahnung ob die Aufgabe so gelöst werden sollte.
4 Antworten
Da hier zuerst nur nach einer Vermutung gefragt ist, würde ich mal ganz einfach "n = -1" in der Formel setzen und erhalte als Vermutung für eine Stammfunktion!!!
Das kann man ja mal ableiten und prüfen, ob das auch so passt.
Na Dank der Regel für die n. Ableitung kannst dir ja überlegen, dass die Stammfunktion von f_a sich auch mithilfe der Funktionenschar darstellen lassen kann.
Du brauchst hier nur die 1. Ableitung (also n=1).
Du weißt somit, dass f'_b(x)=-f_(b+1)(x) gilt für alle b.
Versuche also ein b zu finden, sowie einen Faktor c, sodass c*f'_b(x)=f_a(x) gilt. Somit erhälst du eine Stammfunktion.
Achte, dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt.
Wenn man weiß, welche Ableitung man vor sich hat, kann man sie Stammfunktion so bilden: (-1)^n*(x-n)*e^(-x), wobei n der "Ableitungsgrad" der vorliegenden Ableitung ist.
Du denkst hier etwas zu kompliziert, du hast f gegeben, du musst nun nur F finden.
Die allg. Stammfunktion hat IMMER ein ergänzendes blabla "+C" am Ende.
Dieses wird BEIM Ableiten zu Null, MUSS ABER genannt sein, sonst hat man einen kleinen Schnitzer im Ergebnis.
Ich komm aus F^(n)_a(x) = (-1)^n (x-a-(n+1))*e^(-x) + C