Wie Nullwert der lokalen Änderungsrate bestimmen?
Hallo liebe GuteFrage Community,
ich beschäftige mich derzeit mit einer Aufgabe die ich nicht lösen kann. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Geben Sie an, wie viele Stellen f hat, für die die lokale Änderungsrate den Wert null annimmt. f(x)=0,25(x-1)(x+1)(x^2-9)
Ich bin mir nicht ganz sicher aber meine, dass man die Formel für die lokale Änderungsrate Nullstellen müsste, bin aber beim Versuch dessen leider öfters gescheitert. Wäre sehr erfreut falls die Antworten eine ausführliche Erklärung beinhalten.
Vielen Dank im Voraus!
2 Antworten
Die lokale Änderungsrate an der Stelle x wird durch die Ableitungsfunktion von f, also f'(x) angegeben.
Gesucht sind also jene Werte für x, die f'(x)=0 erfüllen.
Also: Ableitung bilden (es bietet sich hier an, die Klammern erstmal auszumultiplizieren), dann die Ableitung gleich 0 setzen und die so entstandene Gleichung nach x lösen. Hier könnte es helfen, ein x auszuklammern.
Die so gefundenen Werte sind dann die gesuchten Stellen.
_____
Da der Operator "Angeben" genutzt wird, sollte es auch in Ordnung gehen, die Funktion einfach in einen GTR zeichen zu lassen und dort nachzuschauen, wie viele Extremstellen es gibt. Extremstellen haben ja gerade die Eigenschaften, dass die Ableitung (=lokale Änderungsrate) dort 0 ist.
Dann würde ich wirklich eher über den grafischen Ansatz gehen, wenn ihr denn schon 'nen grafikfähigen Taschenrechner habt.
lokale Änderungsrate NULL dort ist die Steigung f´(x)=m=0
1) ausmultiplizieren
2) ableiten → f´(x)=m=0=....
3) Nullstellen von f´(x)=m=0=... ermitteln
1) f(x)=0,25*(x²-1*x+1*x-1)*(x²-9)=0,25*(x⁴-1*x³-9*x²+9)
f(x)=0,25*x⁴-2,5*x²+2,25 abgeleitet
f´(x)=m=0=1*x³-5*x Nullstellen bei x1=0 weil da nur Terme mit x vorkommen
0=x*(x²-5) Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=a oder b=0 oder a=b=0
0=x²-5 → x2,3=+/-Wurzel(5)=+/-2,236
x2=2,36 und x3=-2,236
nun prüfen,ob Maximum oder Minimum
f´´(x)=3*x²-5
f´´(0)=3*0²-5=-5<0 also ein Maximum
f´´(2,236)=3*2,236²-5=10>0 also ein Minimum
f´´(-2,236)=3*(-2,236)²-5=10>0 also ein Minimum
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Hallo fjf100,
meinen herzlichsten Dank für deine tolle und ausführliche Antwort und dem Foto!!
Hallo MeRoXas,
vielen Dank für deine Antwort! Kam mir schon in den Sinn die Ableitungsfunktion zu bilden aber dachte, weil wir das Ableiten in der Schule noch nicht gemacht haben, dass es auch andere Möglichkeiten gäbe. Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!