Wie löst man dieses Matherätsel?
Kim hat 7 Sockenpaare in 7 verschiedenen Farben. Zu Beginn der Woche liegen alle 14 Socken einzeln in der Schublade. Jeden Morgen zieht Kim blind 2 Socken heraus, bis für den Sonntag genau noch ein Paar übrig bleibt (also Ziehen ohne Zurücklegen). Wie viele „verschiedenartige“ Wochen gibt es? Dabei spielt es keine Rolle, wie die Reihenfolge der Paare ist (also an welchem Tag welches Paar gezogen wurde).
Kann es sein, dass Du da einen "Fehler" drin hast? Also verschiedenartige Socken (statt Wochen) - und es geht darum, wie viele Möglichkeiten der Zusammenstellung es gibt, richtig?
Ich meinte eigentlich schon verschiedenartige Wochen. Aber ja, es geht darum, wie viele verschiedene Möglichkeiten es für die Zusammenstellung von 7 Paaren gibt.
3 Antworten
Hallo,
sieben Paar Socken in sieben unterschiedlichen Farben, so daß jede Farbe zweimal vorkommt.
Nimm zwei Stapel, die Du jeweils von A bis G durchbuchstabierst.
A kannst Du mit A bis G kombinieren, B von B bis G, ohne daß eine Kombination dabei ist, die es bereits mit A gab; C mit fünf Buchstaben usw.
So kommst Du auf 7+6+5+4+3+2+1 Kombinationen, was zusammen 28 ergibt.
Diese 28 sind unterschiedlich ohne Beachtung der Reihenfolge, so daß etwa AB und BA als gleich gelten und nicht extra gezählt werden. 28 also.
Da es auch bei den sieben Tagen der Woche nicht darauf ankommt, an welchem Tag welche Kombination vorkommt, kannst Du die sieben Tage aus 28 unterschiedlichen Sockenpaaren zusammenstellen, was 28 über 7 gleich
1.184.040 Möglichkeiten ergibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hab's mal für vier Farben berechnet, die jeweils doppelt vorkommen.
Es können dabei entweder gleichfarbige Paare auftreten (G) oder ungleichfarbige (U).
Es liegen acht Karten auf dem Tisch, je zwei von ihnen sind gleich.
Vier Personen ziehen jeweils zwei Karten.
Dabei kann es folgende Verteilungen geben:
Jeder zieht ein gleichfarbiges Paar, also GGGG. Da gibt es nur eine Möglichkeit.
GGGU kann nicht vorkommen, da jedes gleichfarbige Paar seine komplette Farbe verbrät. Hat einer von den Karten ABCDABCD z.B. AA gezogen, bleibt nichts mit A mehr übrig. Zieht einer Noch BB, bleibt nichts mit B mehr übrig, zieht der Dritte auch noch CC, ist alles mit C weg und es bleibt nur noch DD.
Zwei gleichfarbige, zwei ungleichfarbige Karten, also GGUU:
Die zwei gleichen Paare killen alles in ihrer eigenen Farbe, so daß nur noch ein ungleichfarbiges Paar vorkommt. Da dies doppelt vorhanden ist, funktioniert das. Es gibt 4 über 2 gleich sechs Möglichkeiten, zwei von vier gleichfarbigen Paaren auszuwählen. Jede läßt nur eine Möglichkeit für die beiden ungleichfarbigen Paare, so daß es für GGUU insgesamt sechs Möglichkeiten gibt.
GUUU: Jedes gleichfarbige Paar killt die Einzelpaare seiner Farbe. Es bleiben nur noch Paare der drei restlichen Farben übrig, von denen jeweils zwei doppelt vorhanden sind.
UUU kann aus drei unterschiedlichen Paaren bestehen, da gibt es nur eine Möglichkeit.
Ein Paaar kann doppelt sein, dann bleiben noch jeweils die beiden anderen; ergibt drei Möglichkeiten. Zwei Paare können doppelt sein, was noch einmal drei Möglichkeiten ergibt, weil nur ein Einzelpaar übrigbleibt. Ergibt 1+3+3=7.
Das mal 4, da es ja vier mögliche gleichfarbige Paare gibt, ergibt 28 für GUUU.
Bleibt noch UUUU. Von den sechs ungleichfarbigen Pärchen werden vier ausgewählt. Die können alle unterschiedlich sein, also kein doppeltes dabei, macht 6 über 4 gleich 15.
Dabei können zwei doppelt sein, was 6 über 2, auch 15 ergibt.
Dann noch eins doppelt, die anderen unterschiedlich.
Die unterschiedlichen sind dann 5 über 2 gleich 10. Das mal 6 ergibt 60.
Macht zusammen 15+15+60=90.
Insgesamt daher 1+6+28+90=125 unterschiedliche Verteilungen ohne Permutationen.
Das gleiche mit sieben Paaren dürfte den Aufwwand potenzieren.
Kann dir folgen bis
Ein Paar kann doppelt sein, ...
Ab hier sehe ich es anders, und zwar nur 4 Möglichkeiten für GUUU:
Seien die 4 Farben r, b, g, s, dann ist das
(rr), (bg), (gs), (sb)
(rg), (bb), (gs), (rb)
(rb), (bs), (gg), (sr)
(rg), (bs), (sr), (ss)
Man kann die Farben in den nicht fett gedruckten Klammern permutieren, es bringt nichts neues.
Das macht dann für n=4 nur 11 Möglichkeiten.
Ich sehe aktuell folgende Werte:
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5, f(4) = 11, und vermute allgemein
f(n) = 1 + (2 über 2) + (3 über 2) + .... + (n über 2) (für n>1)
Das habe ich einerseits noch nicht sauber bewiesen; andererseits muss die Lösung m.E. einfacher sein.
Stimmt. Drei Einzelpaare lassen sich nur ohne Doppelungen bilden, sonst bleibt nicht genug für ein drittes Paar übrig. Also nur 4 statt 28.
Bei EEEE lag ich auch falsch. Davon gibt es nur 6. Dann wären es insgesamt 17 bei n=4.
Zumindest habe ich eine Höchstgrenze bei 7*2 Kartenpaaren:
Du legst die erste Zeile als ABCDEFGH fest und setzt darunter alle 5040 (7!) Permutationen dieser Reihe.
Allerdings gibt es auch hier noch Doppelungen:
ABCDEFGH
EFGHABCD führt zu gleichen Zahlenpaaren in unterschiedlichen Reihenfolgen.
Man müßte sehen, wie viele dieser Doppelungen es gibt.
In diesem Fall würde man aber nicht berücksichtigen, dass von jeder Farbe genau 2 Socken zur Verfügung stehen. Die Kombination AA, AB, AC, AD, AE, AF, AG sollte eigentlich keine Möglichkeit sein. Demnach müsste die totale Anzahl an Möglichkeiten viel kleiner sein.
Das stimmt. Dann läuft die Berechnung aber auf eine Menge Fallunterscheidungen hinaus oder es bedarf eines neuen Ansatzes.
Ich glaube, ich habe einen Weg gefunden. Was meint ihr dazu?
Mach deine Hausaufgaben bitte selbst. Während der Mathearbeit simd wir auch nicht für dich da.
Diese Frage ist entweder total billig oder echt schwer, oder ich verstehe die Frage nicht, ich knoble seit gestern daran und sehe keine Lösung. Deiner Lösung kann ich (noch) nicht folgen. Machen wir es einfacher mit 2 Sockenpaaren, eines rot, eines blau. Dann wäre die Lösung nach meinem Verständnis 2 „verschiedenartige Wochen", nämlich (rot,rot) und (blau,blau) an Tag 1 bzw. Tag 2 (oder umgekehrt) und (rot,blau) und (blau,rot) an Tag 1 bzw. Tag 2 (oder umgekehrt). Wenn ich deine Lösung hierfür nachvollziehe komme ich auf 2+1 = 3 Kombinationen und dann (3 über 2) = 3 als Lösung.