Wie löse ich Sinusgleichungen?

Habe die Aufgabe

sin(x)=0.23

Ich soll die Lösungen im Intervall [-4π; 4π] angeben.

Kann jemand helfen ?

3 Antworten

fjf100

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

22.02.2020, 13:19

(x)=arcsun(0,23)=0,232...

die Funktion y=f(x)=a*sin(x) ist periodisch und deshalb tritt auch der Wert

f(0,232)=sin(0,232)=0,23 periodisch auf

1 Schritt:Zeichne den Graph y=f(x)=sin(x) oder siehe im Mathe-Formelbuch nach,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,trigonometrische Funktion

f(x)=sin(x)

Nullstellen bei x=k*pi mit k=0,1,2,3...

Extrema bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..

Wendepunkte bei x=k*pi mit k=0,1,2,3...

1.te Extrema bei x=pi/2+0*pi=pi/2 ergibt f(pi/2)=sin(pi/2)=1 Maximum

2.te Extrema bei x=pi/2+1*pi=3/2*pi ergibt f(3*pi/2)=sin(3*pi/2)=-1 Minimum

Die Periode ist 2*pi (die positive Halbwelle und die negative Halbwelle)

Abstand xc=0,232 zum Maximum ist pi/2-0,232=1,33879

f(0,232)=sin(0,232)=0,32 tritt auf links vom 1.ten Maximum und dann wieder rechts vom 1.ten Maximum

x2=pi/2+1,33879=2,909.. ergibt f(2,909)=sin(2,909)=0,23 gerundet

also von x=0 aus nach rechts

1.te Maximum bei x=pi/2

2.te Maximum bei pi/2+2*pi=pi/2+4/2*pi=5/2*pi

3.te Maximun bei 5/2*pi+2*pi=5/2*pi+4/2*pi=9/2*pi

Also tritt der Wert von x=0 bis x=4*pi 3 mal auf rechts und links neben dem 1.ten Maximum und einmal vor dem 2.ten Maximum

von x=0 bis x=-4*pi

1.te Maximum links von der y-Achse x=pi/2-2*pi=pi/2-4/2*pi=-3/2*pi

2.te Maximum links von der y-Achse x=-3/2*pi-4/2*pi=-7/2*pi,

links neben der y-Achse tritt der Wert f(x)=sin(x)=0,23 4 mal auf,rechts und links neben den beiden Maxima.

f(-4*pi)=sin(-4*pi)=0 ist eine Nullstelle direkt nach dem 2.ten Maximum links neben der y-Achse.

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

22.02.2020, 13:16

Eine Lösung (welche im Intervall [-π/2; π/2] liegt) erhält man mit Hilfe der arcsin-Funktion.

(Insbesondere auf vielen Taschenrechnern wird die arcsin-Funktion auch mit sin⁻¹ bezeichnet. Achte auch darauf, dass der Taschenrechner für diese Aufgabe auf Bogenmaß RAD statt auf Gradmaß DEG eingestellt ist.)

Eine weitere Lösung (welche im Intervall [π/2; 3π/2] liegt) erhält man, indem man die Beziehung sin(π - x) = sin(x) ausnutzt.

Damit hat man dann zwei Lösungen x₁, x₂ gefunden (was alle Lösungen im Intervall [-π/2; π/2] sind). Alle weiteren Lösungen erhält man, indem man zu den beiden gefundenen Lösungen Vielfache von 2π addiert, da die sin-Funktion 2π-periodisch ist.

Addiere bzw. subtrahiere also solange 2π bis du dich außerhalb des Intervalls [-4π; 4π] befindest.

Bild zum Beitrag

gfntom

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

22.02.2020, 12:44

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—> Berechnung der Periode:

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