Bestimme alle Lösungen zu sin(x)=0.2?
Hallo alle zusammen. Ich habe hier gerade eine Aufgabe, bei der ich nicht eibmal ansatzweise weiß, wie ich diese zu lösen habe. Die Aufgabe lautet: Bestimme alle Lösungen der Gleichungen im Bereich -2 Pi < x < 2 Pi a) sinus (x)= 0.2 b) cos (x)=0.5 Vielen dank für jede Hilfe
2 Antworten
Löse die Gleichung erst einmal grafisch (muss nicht genau sein - eine einigermaßen stimmige Freihandskizze reicht):
Zeichne eine Skizze der Sinusfunktion und eine der Cosinusfunktion im fraglichen Bereich. Markiere hier die "Quadranten" (alle π/2 = 90°). Zeichne die Linien y = 0,2 bzw. y = 0,5 ein.
Skizziere den Arcussinus bzw. den Arcuscosinus in einem der "Eindeutigkeitsintervalle", z. B. für den Sinus auf (-π/2,π/2] und für den Cosinus auf [0,π) -- (die Intervalle bedeuten hier die Definitionsbereiche von sin bzw. cos für die umkehrbare Funktion, das sind die Wertebereiche von arcsin bzw. arccos)
Löse die Anfangsgleichungen für diese umkehrbaren Einschränkungen der Funktionen.
Bilde die übrigen Teilintervalle der Länge π aus dem ursprünglichen Definitionsbereich (-2 π, 2 π) durch entsprechende Umformungen, wie sin(α) = sin(π-α) in das Intervall der umkehrbaren Einschränkung der Funktion ab.
Berechne damit die übrigen Lösungen.
Dazu brauchst du die Umkehrfunktion des Sinus (sin^-1), da du ja einen "Winkel" x kennst.
-> x = sin^-1(0,2)
x = ca. 0,201 rad = ca. 11,5°
Da die Sinusfunktion eine Periodizität von 2 * pi * n hat, kannst du das also immer addieren, ohne das Ergebnis zu verändern.
-> x = sin^-1(0,2) + 2 * pi *n (n ist klarerweise ein Element der ganzen Zahlen)
Da der Bereich -2 pi bis 2 pi gefragt ist, brauchst du also nur n=1 und -1 einsetzen.
b) funktioniert analog zu a), nur andere Funktion und Wert nehmen.