Wie löse ich die Parameteraufgabe (bei Integralen): fa(x)=x^3-a^2x. / a>0?
Die folgende Funktionen fa(x)=x^3-a^2x / a>0 habe ich aufbekommen. Dabei soll ich a so bestimmen, sodass die Fläche zwischen dem Graphen und der X-Achse 4 ergibt. Ich habe so einiges probiert und komme einfach nicht darauf, denn das a^2 in der Funktion erschwert mir die Arbeit so ziemlich.
2 Antworten
Nullstellen:
0 = x³ - a²x
0 = x(x² - a²)
x = 0 oder x = +-a
Es gilt:
-f(-z) = -((-z)³ - a²(-z))
= -(-z³ + a²z)
= z³ - a²z
= f(z)
Somit liegt Punktsymmetrie vor. Wir betrachten für die Fläche also nur die doppelte Fläche von -a bis 0:
A = 2 * Integral -a bis 0(x³ - a²x)dx
= 2 * [1/4 * x⁴ - a²/2 * x²] -a bis 0
= -2 * (1/4 * a⁴ - a²/2 * a²)
= -1/2 * a⁴ + a⁴
= 1/2 * a⁴
Die Fläche soll 4 sein:
4 = 1/2 * a⁴
8 = a⁴
a = 4. Wurzel(8)
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
Nullstellen bestimmen, dazwischen integrieren und die Summe der Beträge = 4 setzen
Wechselfreund
25.03.2020, 18:11
@Mathematiker14
Nullstellen sind -a, 0 und a. Da der Graph punktsammetrisch ist, reicht es, zwischen 0 und a zu integrieren und den Betrag = 2 zu setzen.
Das Problem ist, dass a auch gleich die Nullstelle ist. Wenn ich also die Funktion f(x)=0 setze, kommt a=x heraus.