Wie lässt sich die Abstandsformel eigentlich herleiten?
Wenn man zwei Punkte gegeben hat und man den Abstand der beiden Punkte berechnen soll, gibt es ja diese Abstandsformel namens: d = ....
Weiß jemand, wie die zustande kommt? Im Internet habe ich nur etwas Unverständliches gefunden, das war's schon. Ich wäre echt froh, wenn ich das englich verstehen könnte. Denn allein mit der Formel will ich nix anfangen!
6 Antworten
Mach das doch erstmal im zweidimensionalen und nimm den einfachen Fall - ein Punkt ist der Ursprung, der andere ist (x,y).
Wenn du jetzt den Abstand zwischen (0,0) und (x1,x2 berechnen willst, mal dir das mal auf. Dann stell dir ein Rechteck vor, dass (0,0) und (x1,x2) als zwei gegenüberliegende Punkte hat - die beiden anderen sind (0, x2) und (x1,0).
Dann ist der Abstand zwischen (0,0) und (x1,x2) gerade die Länge der Diagonale dieses Rechtecks. Die kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen - und bekommst für die Länge der Diagonale heraus
SQRT( x1² + x2²).
Nun stell dir zwei beliebige Punkte vor (x1, x2) und (y1,y2). Wenn du diese Punkte jetzt so verschiebst, dass einer der beiden auf den Nullpunkt fällt, kannst Du die Formel von eben anwenden - durch das Verschieben beider Punkte um denselben Wert ändert sich ja die Länge nicht. Wie verschiebt man nun? Indem man zu allen Punkten einen Vektor (also auch ein Zahlenpaar) dazuaddiert. Damit bei einem (0,0) als Ergebnis herauskommt, addiere ich zu beiden Vektoren (-y1, -y2). Dann bekomme ich für die verschobenen Punkte
(y1, y2) +(-y1, -y2) = (0,0)
und
(x1,x2) +(-y1, -y2) = (x1-y1, x2-y2)
Den Abstand zwischen diesen beiden Punkten kann ich wieder mit der Formel berechnen und bekomme heraus
SQRT( (x1-y1)² + (x2-y2)²)
Im dreidimensionalen macht man genau dasselbe: Man hat zwei Punkte
(x1, x2, x3) und (y1,y2,y3).
Die verschiebt man so, dass einer mit dem Nullpunkt zusammenfällt:
(x1, x2, x3) +(-y1,-y2,-y3) = (x1-y1, x2-y2, x3-y3)
und
(y1,y2,y3)+(-y1,-y2,-y3) = (0,0,0).
Diese beiden Punkte spannen einen Quader auf, dessen Raumdiagonale gerade so lang ist wie der Abstand der Punkte. Die Seiten des Quaders haben die Längen
a = x1-y1
b = x2-y2
c = x3-y3
Die Länge der Raumdiagonale eines Quaders mit den Seitenlängen a, b und c ist nichts anderes als
SQRT(a² + b² + c²)
Also ist der Abstand
SQRT((x1-y1)² + (x2-y2)² + (x3-y3)²)
d = sqrt((xa - xb)^2 + (ya - yb)^2), oder was meinst du? (sqrt ist die Wurzel) Ich gehe davon aus, dass du den Abstand zweier Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem meinst, ansonsten hättest du etwas genauer sein müssen.
Das ist eigentlich nur ein Pythagoras. Wenn du ein Dreieck zeichnest, das Punkt A, Punkt B und Punkt C als Eckpunkte hat, wobei C "horizontal neben" A und "vertikal neben" B ist, hast du ein Rechtwinkliges Dreieck -> Pythagoras.
Ja, das meine ich. Aber ich kann mir das nicht vorstellen .
wenn du dir das Steigungsdreieck einzeichnest , dann siehst du, dass die Formel aus dem Pythagoras hergeleitet ist.
kannst du vllt. ein beispiel gebn :)?
ah ok.. ne ich hab keine ahnung :o in welcher klasse bist ? ^^
Vielleicht hilft dir dieses Lernvideo:
nein, ich verstehe nicht, was der da im Quader zeigt..
Ich hab die Punkte: A (3/2/1) und B (4/5/1)