Wie kommt man auf dieses Taylorpolynom?

Hallo,

ich habe hier ein kleines Problem. Wir haben in der Vorlesung eine Funktion taylor-entwickelt und das sah so aus:

$\psi\left(x-a\right)\ =\ \psi\left(x\right)-a\nabla\psi\left(x\right)+\text{}$

... und der Rest in den Landauschen Papierkorb, also nur bis zur 2. Ordnung.

Ich verstehe allerdings nicht ganz, wie man darauf kommt, denn ganz allgemein gilt ja für ein Taylorpolynom $\sum_{_n}^{ }\frac{\psi^n\left(t\right)}{n!}\left(x-t\right)^2$ $\sum_n^{ }\frac{\psi^n\left(t\right)}{n!}\left(x-t\right)^n$

mit einem Entwicklungspunkt t .

Also gilt doch

$\frac{\psi\left(x-a\right)|_{x=t}}{0!}\left(x-t\right)^0+\frac{\nabla\psi\left(x-a\right)|_{x=t}}{1!}\left(x-t\right)^1=\psi\left(t-a\right)+\nabla\psi\left(t-a\right)\left(t-a\right)$

(da soll natürlich (x-t) in der letzten Klammer stehen)

Aber wie komme ich so auf das, was wir in der Vorlesung hatten. Selbst mit t=0 würde das ja nicht stimmen. Wo ist mein Denkfehler?

Danke im Voraus!

Answer 1

[eterneladam]

In der ersten Formel ist x der Entwicklungspunkt und a lebt in einer Umgebung von x. Mehr braucht es nicht. Bei deinem Versuch bringst du noch ein t hinein, was des Guten zu viel ist. Überleg dir mal, was da t darstellen sollte.

Comments

[Mrxxn]

Hm, also irgendwie ist mir das noch nicht klar. Meine Funktion Psi lebt in 3D, x ist eine stetige Variable (in diesem Fall eben immer ein 3-Vektor) und a einfach eine Konstante (Translation). Wieso sollte jetzt x der Entwicklungspunkt sein? Das ergibt für mich wenig Sinn, weil ein Entwicklungspunkt ja ein fixierter Punkt ist...?

Ich hoffe es wurde klar, wo ich hänge, danke für die Antwort!

[eterneladam]

@Mrxxn

Namen sind Schall und Rauch, warum soll man nicht x fixieren und a laufen lassen?

[Mrxxn]

@eterneladam

Weil a hier eine Konstante sein soll. Also rein physikalisch, wurde die Funktion psi(x-a) aus psi(x) durch Translation um den Wert a (durch Anwenden eines Operators) erzeugt. Deswegen ergibt es keinen Sinn a auf einmal als Variable zu nutzen. Oder liege ich da falsch?

Und selbst wenn es so wäre, dann würde man doch im ersten Term nicht auf psi(x) kommen...?