Wie kommt man auf den Rechenweg?

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2 Antworten

Eiweiss = E
Kohlenhydrate = K
Fett = F

1. Aufgabe

Es soll gelten:

E(total) = 0.47
K(total) = 0.35
F(total) = 0.18

Gesucht ist die Menge von jedem Speise-Bestandteil, die zur Speise hinzugefügt wird, damit das oben Genannte gilt. Also verteilst du für diese drei Mengen Parameter (da sie noch unbekannt sind):

Menge von A -> x
Menge von B -> y
Menge von C -> z

Die Menge von A gilt für alle drei Bestandteile von A. Wenn du z.B. x*A in die Speise gibst, fügst du x*E(A) + x*K(A) + x*F(A) hinzu.

Nun kannst du also schreiben:

E(total) = x*E(A) + y*E(B) + z*E(C)
K(total) = x*K(A) + y*K(B) + z*K(C)
F(total) = x*F(A) + y*F(B) + z*F(C)


2. Aufgabe

Es soll gelten:

E(total) = 0.4
K(total) = 0.4

Mit demselben Prinzip wie oben, kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen. (Die Gleichungen in deinen Angaben sind nicht korrekt, wohl ein "copy-paste Fehler" ^^)

Da die komplette Speise aus den drei Komponenten A, B und C angefertigt wird, weisst du zudem, dass Menge A + Menge B + Menge C der ganzen Speise (100% = 1) entspricht.

Die andere Möglichkeit, eine 3. Gleichung aufzustellen, wäre auch folgende (ergibt jedoch mehr Rechenaufwand):

1 (ganze Speise) = E(total) + K(total) + F(total) -> F(total) = 0.2

-> F(total) = x*E(A) + y*E(B) + z*E(C)

Bei weiteren Unklarheiten gerne nachfragen :)

alienaxx 20.01.2017, 21:50

Vielen Dank, du hast Licht in mein Dunkel gebracht! aber ich habe dennoch noch einige kleine Probleme:
Für 1.: Wieso verteile ich nochmal Parameter ich verstehe das nicht so ganz und vor allem wieso Fett z.B. den gleichen Parameter hat und was kann ich mir überhaupt unter der generellen Aufgabenstellung vorstellen hab da Sachverständnisprobleme leider.
Für 2.: Wieso muss ich die Gleichung x+y+z=1 überhaupt aufstellen bei 1. habe ich es ja auch nicht aufgestellt?

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Australia23 20.01.2017, 23:16
@alienaxx

Zu 1.

Um mit einer unbekannten Grösse zu rechnen, gibst du ihr einen "Namen". Ein Beispiel:

Tom besitzt eine unbekannte Anzahl Äpfel. Er bekommt von einem Freund 3 weitere Äpfel geschenkt und isst darauf einen. Nun hat Tom noch 5 Äpfel. Wie viele hatte er zu Beginn?

Anzahl Äpfel zu Beginn = x 

x + 3 - 1 = 5  ->  x = 5 - 3 + 1 = 3

Du könntest natürlich auch den "vollen" Namen für den Parameter verwenden (also "Anzahl Äpfel zu Beginn", statt x), dies würde die Sache aber etwas unübersichtlich machen.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine zweite Frage richtig verstehe. Aber die Bezeichnungen F(A), F(B), F(C) stehen für die gegebenen Werte. Also F(A) = Fettanteil der Speise A = 0.4, F(B) = 0.2, F(C) = 0.1. Ich gab den Werten diese "Namen", damit du siehst was ich wo einsetzte (der Wert 0.4 kommt z.B. mehrmals vor, mit F(A) sollte klar sein, um was es geht).

was kann ich mir überhaupt unter der generellen Aufgabenstellung vorstellen

Der Sinn dahinter ist es wohl Sachverhalte mathematisch darzustellen um damit auf eine Lösung zu kommen. Dafür verwendet ihr Gleichungssysteme. Du sollst also anhand der gegebenen Informationen versuchen ein Gleichungssystem aufzustellen.


Zu 2.

Du benötigst immer so viel Gleichungen wie Parameter um eine Eindeutige Lösung erhalten zu können. Ein Gegenbeispiel:

x + y + z = 3
x + y = 2

Aus der 2. Gleichung erhälst du x = 2 - y, dies kannst du in die obere Gleichung einsetzen:

(2 - y) + y + z = 3 -> z = 1

y "bleibt" y, es ist nicht möglich einen Wert für y zu bestimmen.

Mit 3 Gleichungen für die 3 Parameter kannst du jedoch nach allen auflösen:

x + y + z = 3
x + y = 2
y = 1

Hier erhälst du: x = y = z = 1

Nun könntest du den 3 Gleichungen eine 4. hinzufügen, dies ist zum Lösen des Gleichungssystems (hier) jedoch nicht nötig:

x + y + z = 3
x + y = 2
y = 1
x - z = 0

Die 4. Gleichung hat dir keine neue Information geliefert.

Es kann aber auch eine andere Situation eintreffen:

x + y + z = 3
x + y = 2
y = 1
x = 2

In diesem Gleichungssystem gibt es einen "Widerspruch", es besitzt somit keine Lösung.

Bei der 1. Aufgabe hast du also keine weiter Gleichung aufgestellt, da du schon 3 Gleichungen hattest, diese also genügten. Bei der 2. Aufgabe hattest du jedoch zunächst bloss 2 Gleichungen mit 3 Parametern, also musstest du nach einer 3. "suchen".

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alienaxx 21.01.2017, 09:50
@Australia23

Vielen vielen Dank!!! Noch eine letzte Frage hätte ich- wie kommt man genau auf x+y+z=1?

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Australia23 21.01.2017, 10:14
@alienaxx

Gerne :)

Du hast eine Speise, die aus bestimmten Mengen von 3 Speise-Bestandteilen (A, B, C) besteht. Diese 3 Bestandteile machen also 100% der Speise oder Speise-Menge aus. Also kannst du folgende Gleichung aufstellen:

100 % der Menge = Menge A + Menge B + Menge C

Folgenes hast du schon definiert:
Menge von A -> x
Menge von B -> y
Menge von C -> z

Also kannst du die Gleichung "umformulieren":

100 % = 1 = x + y + z

Du könntest auch folgende Gleichung aufstellen (die Speise setzt sich auch aus den drei Komponenten Eiweiss, Kohlenhydrate und Fett zusammen):

1 = E(total) + K(total) + F(total)

Folgendes hast du schon definiert:
E(total) = x*E(A) + y*E(B) + z*E(C)
K(total) = x*K(A) + y*K(B) + z*K(C)
F(total) = x*F(A) + y*F(B) + z*F(C)

Dies könntest du oben einsetzten, dann kommst du auf folgendes:

1 = x*E(A)+y*E(B)+z*E(C) + x*K(A)+y*K(B)+z*K(C)
      +x*F(A)+y*F(B)+ z*F(C)

Hier kannst du x, y und z jeweils ausklammern:

1 = x * ( E(A) + K(A) + F(A) ) + y * ( E(B) + K(B) + F(B) )
      + z ( E(C) + K(C) + F(C) )

Alle Komponenten eines Speise-Bestandteils zusammen ergeben jeweils 100 % des Speise-Bestandteils (kannst du auch anhand den gegebenen Werten überprüfen):

Z.B. E(A) + K(A) + F(A) = 0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

Also kannst du diese Werte oben in die Gleichung einsetzen (gleiches gilt ja auch für B und C):

-> 1 = x * 1 + y * 1 + z * 1 = x + y + z

Dies wäre also eine andere, aber etwas umständlichere Herleitung.

0

Ok, ein wenig lineare Algebra:

Drücken wir das ganze mal in Vektorschreibweise aus, in der Form:

Bestandteil = ( Eiweiß, Kohlenhydrate, Fett)

Wir erhalten damit als Vektoren für die Bestandteile A,B und C:

A = (0,3 ; 0.3 ; 0.4)

B = (0.5 ; 0.3 ; 0.2)

C = (0.2 ; 0.7; 0.1)

Wir wollen nun zeigen, dass folgendes nicht geht:

k(a)*A + k(b)*B + k(c)*C = (0.47 ; 0.35; 0.18)

mit den Konstanten k(a), k(b) und k(c)

(wir nehmen k(a) mal A und k(b) mal B und k(c) mal C)

An dieser Stelle kann man nun zwei Wege gehen:

1.) Manuelles Lösen dieses linearen Gleichungssystem

2.) Über die Determinante


Zunächst die 1.) Version:

I) k(a)*A(Eiweiß) + k(b)*B(Eiweiß) + k(c)*C(Eiweiß) = 0.47

II) k(a)*A(Kolenhydr.) + k(b)*B(Kohlenhdr.) + k(c)*C(Kohlenhdr.) = 0.35

III) k(a)*A(Fett) + k(b)*B(Fett) + k(c)*C(Fett) = 0.18

Einsetzen der Werte für A(...), B(...) und C(...) liefert dann die 3 Gleichungen:

I) 0.3k(A) + 0.5k(b) + 0.2k(c) = 0.47

II) 0.3k(a) + 0.3k(b) + 0.7k(c) = 0.35

III) 0.4k(a) + 0.2k(b) + 0.1k(c) = 0.18

Man muss nun durch Elementare Umformungen nach den einzelnen Konstanten k(...) auflösen. Erhält man einen Widerspruch dabei, so weiß man, dass dieses LGS keine Lösung besitzt (eine leere Lösungsmenge).

I) - II) ---> IV):

0.2k(b) - 0.5k(c) = 0.12

I)*4 - III)*3  ---> V):

(2 - 0.6)k(b) + (0.8 - 0.3)*k(c) = 4*0.47 - 3*0.18

Wir erhalten also als "neues" kleineres Gleichungssystem:

IV)    0.2k(b) - 0.5k(c) = 0.12

V)    1.4k(b) + 0.5k(c) = 1.34

Addieren beider Gleichungen liefert dann:

IV) + V) ---> VI):

1.6k(b) = 1.46

Wir erhalten also somit für k(b):

k(b) = 1.46/1.6 = 0.9125

Wir erhalten dann k(c) durch einsetzen dieses Wertes in einer der Gleichungen IV) oder V), ich setze es jetzt einfach mal in IV) ein, wir erhalten somit:

k(b) = 0.9125 ---> IV):

0.2*0.9125 - 0.5*k(c) = 0.12   II - 0.2*0.9125   II *(-2)

---> k(c) = (0.12 - 0.2*0.9125)*(-2) = 0.125 = 1/8

Wir erhalten somit also als Lösung für k(c):

VII)  k(c) = 1/8 = 0.125

Die letzte Unbekannte erhalten wir dann durch Einsetzen der ermittelten Werte für k(b) und k(c) in eine der Gleichungen I), II) oder III). Ich werde sie hier mal in Gleichung I) einsetzen:

k(b) = 0.9125 ; k(c) = 0.125  -----> I):

0.3k(A) + 0.5*0.9125 + 0.2*0.125 = 0.47   II - (0.5*0.9125 + 0.2*0.125) II *(10/3)

--> k(A) = (0.47 - (0.5*0.9125 + 0.2*0.125))*(10/3) = -0.0375

Wir erhalten somit also als Lösung für k(a):

k(a) = - 0.0375


Insgesamt haben wir nun also für die Koeffizienten der einzelnen Zutaten folgende Werte ermittelt:

k(a) = - 0.0375

k(b) = 0.9125

k(c) = 0.125

Dieses Gericht ist nicht möglich mit diesen Bestandteilen herzustellen, da einer der Koeffizienten, k(a), negativ ist. Dabei sollte es eine alltägliche Erfahrung sein, dass es schwierig ist aus einer Suppe etwas herauszuholen was man nicht hinein getan hat. Wir müssen also für eine gültige Lösung noch folgende Nebenbedingung formulieren:

Nebenbedingung: 

- k(a), k(b) und k(c) müssen das LGS lösen

Sie sind eine Lösung falls gilt:

k(...) ist größer oder gleich 0 für alle Bestandteilskoeffizienten.

Dann ,und nur dann, handelt es sich bei den Koeffizienten k(...) um eine gültige Lösung.



--> An dieser Stelle sieht man, dass einen der 2.) Weg erst über die Cramersche Regel auf die Richtige Lösung gebracht hätte, da es nicht an den Bestandteilsdefinitionen, sondern viel mehr an der "Nebenbedingung", scheitert.


Der zweite Fall läuft von der Idee dann analog. Man stellt die 3 Gleichungen auf und löst nach den einzelnen Koeffizienten k(a), k(b), k(c) auf. Anschließend gilt es dann das Ergebnis mit der Nebenbedingung auf Plausibilität zu prüfen.

alienaxx 20.01.2017, 19:18

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Was ich mich jetzt aber hauptsächlich noch frage, ist, wieso du Vektoren genommen hast? Und weißt du vielleicht, wieso man bei der Teilaufgabe 2 dann als dritte Gleichung x+y+z=1 hat? Verstehe das absolut gar nicht.

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poseidon42 20.01.2017, 19:40
@alienaxx

Ok Vektoren, da ich eigentlich geplant habe das "elegant" zu lösen, aber mit Rücksicht auf das unter Umständen nicht vorhandene Wissen über Matrizenrechnung oder Vektorrechnung habe ich mich dann doch lieber für die "schulische" Variante entschieden. Man hätte nämlich folgendes schreiben können:

k(a)*A + k(b)*B + k(c)*C = (0.47 ; 0.35; 0.18)

Wenn wir nun

k(a)*A + k(b)*B + k(c)*C

als ein Matrix-Vektor-Produkt auffassen mit der Matrix M:

M = ( A | B | C)

und dem Vektor v:

v = (k(a); k(b); k(c))

So hätte man schreiben können:

M*v = (0.47 ; 0.35; 0.18)

Schließlich hätten wir einfach die Inverse von M, M^-1 , berechnet und damit automatisch die Lösung erhalten:

--> v = M^-1 *(0.47 ; 0.35; 0.18)

Wenn wir dann den Speisevektor s, hier:

s = (0.47 ; 0.35; 0.18)

durch eine allgemeine Speise ersetzen, so hätten wir dann automatisch die Lösung für alle möglichen Speisen s gehabt, so dass gilt:

v = M^-1 * s

Hier wäre bspw.  (in Zeilenschreibweise):

M = ( A | B | C)  = {{0.3 ; 0.5; 0.2}; {0.3; 0.3; 0.7}; {0.4; 0.2; 0.1}}

Damit würden wir die Inverse Matrix erhalten zu:

(ohne diese jetzt explizit vorzurechnen)

M^-1 = {{10/3 ; 2; 5}; {10/3; 10/3; 1.42857}; {2.5; 5; 10}}

(Hier ein Link wo es erklärt wird:

http://www.mathebibel.de/inverse-matrix-berechnen-nach-gauss-jordan

)


Nun zu deiner letzten Frage, hier wird implizit angenommen, dass eine Speise eine gewisse Menge benötigt. Die Summe der Mengen der Bestandteile darf dann nicht die Gesamtmenge der Speise überschreiten. Stell es dir mit Gewichten vor, sagen wir mal die Speise wiegt 500g. Die einzelnen Bestandteile A,B und C sollen nun alle gleich viel wiegen. So muss dann ja gelten:

Gewicht(Menge A) + Gewicht(Menge B) + Gewicht(Menge C) = 500g

In deinem Fall sprechen wir jedoch nicht von Mengen in Form von Gewichten sondern viel mehr sind die k(...) als Anteile an der Gesamtspeise zu verstehen. Und da die Gesamtspeise insgesamt die 100% ist muss die Summe aller Anteile der Bestandteile an der Speise dann zwangsläufig gleich dieser 100% sein.


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