Wie kann man die momentane Änderung verstehen?
Hallo! Ich verstehe zwar prinzipiell, wie man die momentane Änderung interpretiert, allerdings macht diese für mich vom Logischen her keinen Sinn.
Ich wähle als Beispiel eine Exponentialfunktion N(t), welche das Wachstum einer Bakterienkultur nach t Stunden modelliert. Sagen wir N(6) = 12600. Heißt: Nach 6 Stunden gibt es in der Kultur 12600 Bakterien. Schauen wir nun N'(6) = 326. Heißt: Nach 6 Stunden steigt die Bakterienanzahl um 326 Bakterien. Vom rein Logischen her müsste N(7) ja dann 12600 + 326, also 12926 sein. Oder ist die momentane Änderung immer bereits im Wert N(t) mit enthalten? Kann mir jemand erklären, warum meine These (anscheinend) nicht stimmt?
1 Antwort
Das Problem dabei ist: Du betrachtest, wie der Name schon sagt die "Momentane Änderungsrate". Bei nichtlinearen Funktionen, wie z.B. deiner Exponentiellen betrachtest du bei N(6) nur bis zu diesem Punkt. Ebenso die Ableitung. Bishin zu N(7) verändert sich aber dein Verlauf nicht linear, sprich die Momentane Änderungsrate in N'(6) ist nicht gleich N'(7). "Zwischen" N(6) und N(7) ändert sich diese. Je nach Funktion kommst du schon "nahe" dran.
Das das bei nichtlinearen Funktionen nicht mehr funktioniert, liegt am Tangentenverfahren, das letztlich die Regel für Ableitung herleitet. Ganz fix gesagt nimmt das Verfahren 2 Punkte der Funktion, und berechnet die Steigung der Geraden, die durch diese 2 Punkte geht. Um zur Ableitung zu kommen lässt man nun diese beiden Punkte immer näher zusammen laufen, bis "unendlich nah", das liefert dir am Ende die Steigung "in" einem Punkt, oder auch anders formuliert die Momentante Änderungsrate