Wie kann man den Winkel bei dieser Aufgabe berechnen?
In einem Dreieck sei eine Seite genauso groß wie der Radius seines Umkreises.
Wie groß ist der dieser Seite gegenüberliegende Winkel?
3 Antworten
Hallo,
verbinde den Mittelpunkt M des Kreises so mit zwei Punkten auf seinem Umfang, daß der Abstand dieser Punkte (seien sie A und B) gleich dem Radius ist.
Dann besteht das Dreieck ABM aus drei Seiten, die gleich lang sind, es ist also ein gleichseitiges Dreieck mit drei Innenwinkeln von je 60°.
Nun kommt es darauf an, auf welchem Teil des Kreisbogens sich Punkt C befindet. Liegt er auf dem Teil oberhalb der Sehne AB (auf dem größeren also), gilt der Peripheriewinkelsatz und der Winkel gegenüber AB ist halb so groß wie der Winkel AMB, also 30°.
Befindet sich C dagegen unterhalb der Sehne, ist der Winkel ACB 150° groß, ergänzt also den Peripheriewinkel zu 180°.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn man sich das mal aufzeichnet.
Dann erkennt man ein Dreieck mit r und r/2. Im Beispiel 100 und 50.
Daraus kann man mit dem Sinus den Winkel berechnen.
Winkel = arcsin( (r/2) / r )
Winkel = arcsin( 50 / 100 )
Winkel = 30°
Sei ABC ein Dreieck mit dem Umkreis O und der Seite a gegenüber dem Winkel α. Es gilt die Formel a = 2R sin(α), wobei R der Radius des Umkreises ist.
Da die Seite a genauso groß ist wie der Radius des Umkreises, ergibt sich a = R. Somit lautet die Gleichung R = 2R sin(α), was sich zu sin(α) = 1/2 reduziert. Der Winkel α ist also entweder 30° oder 150°, da der Sinus von 30° und 150° jeweils 1/2 beträgt.
Da in einem Dreieck jeder Winkel kleiner als 180° ist, kann der Winkel α nur 30° betragen. Somit ist der dem Radius gegenüberliegende Winkel β = 180° - α = 150°.
"Da in einem Dreieck jeder Winkel kleiner als 180° ist, kann der Winkel α nur 30° betragen."
150° ist defintiv KLEINER als 180° - somit sind beide Werte für Alpha möglich. Der Umkreismittelpunkt muss sich nicht innerhalb des Dreiecks befinden, außer, es ist so vorgegeben.
Unsinnige Antwort. Chatgpt kann wohl kein Mathe.