Wie kam Newton auf F=m*a?
Wenn man F=ma integriert kommt ja die Formel für Ekin bei raus? Warum? Was für ein logischer zusammenhang besteht denn darin? Und weshalb ist die Ableitung von F=ma der Impuls?
5 Antworten
tat er nicht. Es gilt schlichtweg:
F := dp/dt = ma
wobei := eine Definition bedeutet und ma analytisch gleichwertig zu dp/dt ist (unter Annahm konstanter Masse).
Newtons Gedankenblitz war es, diese *Eigenschaft* (Bewegungsänderung eines Körpers) kausal in Verbindung zu setzen mit Äußeren Kraftquellen: sein Axiom besagt, andere Dinge können auf die Bewegung eines Körpers wirken, dabei werden ihre Wirkungsgrade (Kräfte) zusammen addiert und das ist exakt gleich F.
D. h. er setzte F_res mit F_Körper gleich. Und es bedürfte keines Newtons, um zu erkennen, dass F_Körper = ma, sondern dass F_res = ma vermittels F_res = F_Körper
Das Prinzip der Trägheit war schon vor Newton bekannt. Als erster formulierte es Galileo Galilei nach Versuchen mit sich bewegenden Körpern. Durch Versuche auf schiefen Ebenen erkannte er auch, dass die Geschwindigkeit eines sich beschleunigenden Körpers proportional zum Quadrat der Zeit entwickelt.
René Descartes formulierte als erster dann eindeutig, dass der sich Bewegungszustand eines sich bewegenden Körpers ohne die Einwirkung äußerer Kräfte nicht ändert.
Der Verdienst Newtons lag in der Erkenntnis, dass dieses Prinzip universell gültig ist und übertrug es in die mathematische Sprache, indem er die Trägheit in die mathematische Form brachte, dass er als Erhaltungsgröße den Impuls erkannte und formulierte.
Im zweiten Axiom beschäftigte sich Newton dann mit der Frage, wie sich die Bewegung ändert, wenn dann doch eine äußere Kraft einwirkt und konnte dabei auf die Erkenntnisse von Galileo zurückgreifen. Mathematisch drückte er dann die Änderung in Abhängigkeit von der Zeit, also Δv/Δt als Beschleunigung a aus und erkannte in Versuchen, dass a proportional zu der einwirkenden Kraft ist und umgekehrt proportional zu m ist und drückte dies mathematisch dann mit F = m * a aus. Auch hier liegt der Verdienst Newtons darin, dies als universell gültigen Zusammenhang erkannt zu haben und ihn in der Sprache der Mathematik ausgedrückt zu haben.
Dass nicht nur der Impuls eine Erhaltungsgröße bei kräftefreien Körpern darstellt sondern auch Ekin eine generelle Erhaltungsgröße innerhalb der Mechanik darstellt, erkannte erst später Gottfried Wilhelm Leibnitz (1686). Der erste, der dann Ekin mathematisch korrekt formulierte, war Daniel Bernoulli (1726).
Das eigentliche Energiekonzept, in dem Ekin eine wesentliche Rolle spielt und im Rahmen des Energieerhaltungssatzes formuliert wurde, wurde erst mit Aufkommen der Thermodynamik Anfangs des 19. Jahrhunderts entwickelt (Julius Robert Mayer 1842).
Dass die oben erwähnten Größen durch Differenzierung oder Integrierung ineinander übergehen, wurde erst deutlich später im Rahmen der Entwicklung der Differentialrechnung erkannt. Zwar hatten sich auch schon Newton und Leibnitz über das sogenannte Tangentenproblem damit grundlegend beschäftigt, aber erst durch die Einführung des Begriffes der Funktion und der heute noch gültigen Ableitungsregeln durch Leonhard Euler (Institutiones calculi differentialis, 1755) konnte der differentielle Zusammenhang zwischen den Erhaltungsgrößen bzw. Bewegungsgesetzen mathematisch erkannt werden.
Impuls p=m*v und F=m*a=m*dv/dt ergibt F*dt=m*dv
Impulsänderung (p2-p1)=m*(v2-v1) in differentieller Schreibweise
dp=m*dv=F*dt
also F=dp/dt
dp=F*dt integriert
p=Integral( F(t)*dt) oder wenn F=konstant
p=F*t+C wenn bei t=0 p=0 ist,dann ergibt sich
p=F*t
Bevor man erst überhaupt auf diese Formel kommen kann muss man sich noch andere Gedanken machen. Den physikalischen Begriff Kraft gab es damals noch nicht, aber man hatte zumindest eine gewisse Vorstellung.
Wenn du den Bewegungszustand eines großen Körpers verändern willst dann musst eine große Kraft aufwenden. Die Eigenschaft eines Körpers sich gegen diese Änderung zu widersetzen nannte man (träge) Masse.
Was ist nun der natürliche Zustand dieser (trägen) Massen bzw. Körper? Legst du einen Gegenstand irgendwo hin ohne dass du auf ihn eine Kraft auswirkst so verbleibt er im Zustand der Ruhe, d.h. er legt pro Zeiteinheit keinen Weg zurück. Wenn du aber einen Puck auf dem Eis anschiebst, so bewegt er sich immer weiter, bis die Reibung ihn stoppt. Der natürlich Bewegungszustand scheint also die gleichförmige Bewegung (geradlining, mit konstanter Geschwindigkeit).
Durch Stoßexperimente konnte man allerdings zeigen, dass die Geschwindigkeit (ohne äußere Krafteinwirkung) keine Erhaltungsgröße ist, sondern das Produkt aus Geschwindigkeit und (träger) Masse (Impulserhaltungssatz). Dieses Produkt nannte man Impuls.
Newton ging nun davon aus, dass es, um einen Körper aus seinem natürlich Bewegungszustand (Bewegung ohne äußere Kraft mit konstantem Impuls) zu bringen, eine Kraft braucht und diese Kraft die Ursache für die Änderung ist. Je länger diese Kraft wirkt desto größer die Änderung.
Also machte er den Ansatz F (Kraft) := dp / dt, oder in Worten die Ursache der zeitlichen Änderung des Impulses ist die Kraft. Die Kraft wurde damals einfach als zeitliche Änderung des Impulses definiert und ist auch in der heutigen Physik keine Basisgröße.
Die Physik verwendet in der klassischen Mechanik nur 3 Basisgrößen, nämlich Länge L (Meter), Masse m (Kilogramm) und Zeit (Sekunden). Alle anderen Größen und Einheiten werden aus diesen abgeleitet. So besteht die Kraft aus den Dimension Masse * Länge / Zeit^2 bzw. den Einheiten kg*m/s^2.
Dass Newton nicht diese Art der Differentialschreibweise benutzt hat ist klar. Trotzdem ist das die Aussage, welche Newton in Lex II ("Mutationem molus prortionalem esse vi motrici impressa, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.") so formuliert hat. das Differential steht ja nur für die zeitliche Änderung des Impulses.
Ich übersetze den Satz mit:
Die (bewegungs-) Änderung der Masse ist proportional zur drückenden bewegenden Kraft und geschieht gemäß einer geraden Linie dorthin wo jene Kraft drückt.
Von Impuls oder einer zeitlichen Änderung lese ich da nichts.
Die ganzen Principia Mathematica von Newton zu zitieren (mit seinen mehreren hundert Seiten) war mir dann doch zu langwierig. Newton definiert am Anfang seines Werkes (S. 73/74):
"The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjunctly. The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion is double; with twice the velocity, it is quadruple,"
http://redlightrobber.com/red/links_pdf/Isaac-Newton-Principia-English-1846.pdf
https://www.wilbourhall.org/pdfs/newton/NewtonPrincipia.pdf
(Hier im lateinischen Original, wer es verstehen kann :)).
Newton benutzt nicht den Ausdruck Impuls direkt, sondern redet hier von der Quantität der Bewegung und meint damit das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.
Danke für das Zitat. Wobei ich zugeben muss, dass ich das in Englisch deutlich schneller lesen kann als in Latein. Dass Newton den Impuls als Bewegungsmenge bezeichnet hat und seine Erhaltung bei dem Fehlen äußerer Kräfte postuliert, ist mir schon klar.
Was mir bislang neu wäre ist allerdings immer noch der Zusammenhang, dass F die Ableitung des Impulses nach der Zeit wäre. Nur darum gehts mir im Moment...weil ja mehrfach behauptet wurde, so hätte Newton sein zweites Gesetz hergeleitet, was ich bislang bezweifle. Aber ich lasse mich auch gerne eines besseren belehren.
F=m*a=m*dv/dt
dv=F/m*dt=a*dt wenn F=konstant
integriert
v=Integral (a(t)*dt oder F/m=a=konstant
v=F/m*t+C
Also machte er den Ansatz F (Kraft) := dp / dt
Diese Differentialbildung wurde erst viel später durch Euler "erfunden". Newton kam durch Versuchsreihen und deren Auswertung auf seine Ergebnisse.