Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine zufällige reelle Zahl von allen reellen Zahlen auszuwählen?
Angenommen alle haben die selbe Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden.
6 Antworten
Müsste exakt 0 sein.
Beweis: Sei k(Index n) die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl aus einer Menge Zahlen mit der Mächtigkeit m (m € |R) gezogen wird. Dann ist k_n für eine endliche Menge: 1/m.
Sei k_n eine Folge und lasse ich n gegen unendlich laufen, dann konvergiert m gegen unendlich und 1/m gegen 0. Aus diesem Grenzwertverhalten darf ich den Schluss ziehen, dass k für eine nicht endliche Menge 0 ist. Diese Schlussfolgerung von endlich auf unendlich über eine Folge mache ich z.B. auch bei Ableitungen etc.
Hier kommen natürlich wieder diese Fragen, ob dann das Integral über unendlich viele Nullen nicht doch einen Wert ergäbe etc. So weit ist die Mathematik jedoch nicht, um Operationen mit Null und unendlich zu erlauben. Hier bleibt nur die Folge als Bindeglied zwischen endlich und unendlich und den Schlussfolgerungen aus Konvergenz, Beschränktheit und Grenzwert.
Dennoch bleibt das Ergebnis unbefriedigend: Die Wahrscheinlichkeit ist Null, dennoch kann das Ereignis eintreten. Das liegt wohl daran, dass die Null in diesem Fall über eine Folge --> unendlich definiert ist, also nicht "wohldefiniert" (darf ich den Terminus hier gebrauchen?)
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit null. Das mag kontraintuitiv erscheinen, weil intuitiv ja doch die Chance existiert, die Zahl tatsächlich auszuwählen, aber nachdem die reellen Zahlen unendlich sind, ist es zumindest im mathematischen Sinne "unmöglich".
Dabei könnte man sich sicher viele theoretische Fragen stellen, wo der Unterschied zwischen intuitiver Wahrscheinlichkeit und tatsächlicher Wahrscheinlichkeit liegt, aber stell dir 0 einfach als Symbol für eine unendlich kleine Zahl vor (auch das ist nicht ganz formal ausgedrückt, aber belassen wir es dabei) - im Grunde genommen ist es ja nur Notation. Was ist Null? Was genau wird dadurch beschrieben? Grüble mal ein bisschen über diese Fragen, dann wird dir vielleicht klar, warum die Wahrscheinlichkeit tatsächlich null ist.
Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer bestimmten reellen Zahl ist gleich 0.
Mit anderen Worten: Es ist fast sicher, die bestimmte reelle Zahl nicht zu ziehen.
(Wobei genau genommen eine Gleichverteilung auf der Menge der reellen Zahlen gar nicht wirklich definiert ist. Man könnte höchstens auf beschränkten Teilmengen eine Gleichverteilung definieren.)
Und wenn ich bereits eine Zahl gezogen habe und die Situation rückblickend betrachte? Wie kann es sein, dass die Wahrscheinlichkeit mit der ich die Zahl gezogen habe genauso groß war, wie die Wahrscheinlichkeit etwa eine komplexe Zahl zu ziehen? Was ja definitiv nicht möglich war, also auch die Wahrscheinlichkeit 0 hätte.
Unser Boi Laplace hat mal gesagt, dass Wahrscheinlichkeit so definiert ist:
Anzahl günstige Ereignisse / Anzahl aller möglichen Ereignisse
Günstige Ereignisse haben wir eine, weil wir nur eine spezielle Zahl ziehen wollen aber wir haben unendlich viele Reelle Zahlen. Somit wird der Term zu:
1 / unendlich
Was 0 ergibt.
Die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl zu ziehen, ist 1 (sofern du auch wirklich ziehst).
Die Wahrscheinlichkeit, eine ganz bestimmte Zahl zu ziehen (z.B. 0.3826528 oder 8 oder 482726) ist 0.
Ergänzend könnte man noch sagen, sie ist so Null, Nuller gehts nicht. Selbst die Wahrscheinlichkeit eine rationale oder algebraische Zahl zu ziehen ist 0. Und auch da ist die Null noch lange nicht ausgeschöpft. Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl aus der Cantorschen Wischmenge zu ziehen ist auch noch 0, obwohl es überabzählbar viele Zahlen sind.