Wie ermittle ich den Berührpunkt einer Kugel mit der x-y-Ebene?
Im Anhang ist eine Aufgabe aus dem Zentralabitur 2007 NRW, Mathematik LK, zu finden. Es geht mir hier um keinen expliziten Rechenweg mit Zahlenwerten (deshalb ist auch nur diese Teilaufgabe gezeigt), sondern um einen Ansatz.
Zum Hintergrund: In einer vorherigen Teilaufgabe d) wurde eine Gerade ermittelt, welche den "Weg" der Kugel entlang der Ebene E darstellt. Sie rollt diesen Weg lang, bis sie auf die x-y-Ebene trifft.
Zudem wurde in einer anderen Teilaufgabe c) der Kugelmittelpunkt an einem bestimmten Berührpunkt mit der Ebene bestimmt.
Nun die Frage: Wie ermittle ich den Berührpunkt S der Kugel mit der x-y-Ebene?
Mein Ansatz wäre folgender:
Konstruiere ich eine Gerade, welche parallel zur Gerade aus d) verläuft, und als Stützvektor den Kugelmittelpunkt aus c) hat, erhalte ich eine Gerade, welche die "Spur" des Kugelmittelpunktes im Rollvorgang beschreibt.
Nun ermittle ich, wann die Gerade aus d) die x-y-Ebene schneidet. Das selbe mache ich für die gerade eben genannte "Mittelpunktgerade". Addiere ich nun die Ortsvektoren der Schnittpunkte und halbiere die Komponenten, so lande ich ja genau zwischen den beiden Schnittpunkten, und habe S ermittelt.
Liege ich da ansatzweise richtig, oder muss eine völlig andere Überlegung her?
Für die nächste Aufgabe bräuchte ich dann auch einen Ansatz.
Ist es ausreichend, für die Spurgerade als Stützvektor den Punkt S zu nehmen, und als Richtungsvektor den Richtungsvektor aus Teilaufgabe d), nur mit der z-Komponente gleich 0? Immerhin ändert sich ja nur die Höhe nicht, die Richtung der Kugel in der Länge und Breite im Raum bleibt doch unverändert, oder nicht?
3 Antworten
Bin jetzt in Vektorrechnung nicht ganz so fit, aber meine Idee wäre einfach:
Allgemein: Wenn Du den Mittelpunt der Kugel kennst, ermittle den Normalenvektor von der Ebene zu diesem Punkt. Der "Fußpunkt" des Normalenvektors ist der Berührpunkt.
Insbesondere: Wenn es um die x-y-Ebene geht und (x1, y1, z1) die Koordinaten des Mittelpunktes sind, müsste doch m. E. einfach (x1, y1, 0) der Berührpunkt sein ...
Ja, zu dem Schluss mit dem Berührpunkt bin ich letztendlich auch gekommen. Dankesehr.
ganze aufgabe wäre hilfreich zu sehen
und für den nächsten ansatz klar ändert sich die richtung wenn sich die höhe ändert die kugel läuft erst der auf der Ebene E entlang und dann trifft sie auf x1-x2 ebene - dann ist die neue richtung die x1-x2 ebene nur noch die x komponente kann dann die richtung erklären - in die anderen y=0 und z = je nachdem in welchem winkel die kugel zur ebene auftrifft ändert sich vll.
oder hab ich was falsch verstanden O.o
LG dr
Hier das Bild: