Wie bildet man hier dei Stammfunktion?

$\frac{1}{\left(4-x^2\right)}$ ?

Hätte ich 1/ (4-x) wäre es ja einfach= -ln(|-x+4) aber das geht ja wegen dem hoch 2 nicht oder?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

dritte binomische Formel: 4-x²=(2+x)*(2-x).

Du kannst 1/(4-x²) durch Partizipialbruchzerlegung
A/(2+x)+B/(2-x)=1/[4*(2+x)]+1/[4*(2-x)] in zwei Brüche aufteilen und die dann einzeln integrieren.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[oij83]

Wie`? ALso klar

Partielbruchzerlegt ist das:

A/(2+x)+B/(2-x)

Nun habe ich ja dann stehen

2/((2+x)*(2-x)) = A/(2+x)+B(2-x)

jetzt muss ich ja mal (2+x)*(2-x)

machen und komme auf

2=A*(2-x)+B(2+x)

Wie kommst Du da jetzt auf 1/(4*(2-x))?

A wäre ja, wenn ich x=-2 setze 1/2 und B wäre ebenso 1/2.

So kommt man doch dann auf 1/(2*(2-x) und 1/(2*(2+x))?

[Willy1729]

@oij83

Alles auf einen Nenner bringen:

[A*(2-x)+B*(2+x)]/[(2+x)*(2-x)].

Zähler ausmultiplizieren:

(2A-Ax+2B+Bx)/(4-x²).

Sortieren des Zählers:

(2A+2B+x*(B-A))/(4-x²).

Vergleichen mit dem alten Zähler 1+0x:

2A+2B=1 und B-A=0.

Aus B-A=0 folgt B=A.

Aus 2A+2B=2A+2A=4A=1 folgt A=B=1/4.

[Willy1729]

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Answer 2

[gauss58]

Partialbruchzerlegung:

(A / (2 + x)) + (B / (2 - x)) =

(A * (2 - x) + B * (2 + x)) / (4 - x²) =

(2 * A - A * x + 2 * B + B * x) / (4 - x²) =

((B - A) * x + 2 * A + 2 + B) / (4 - x²)

(1) B - A = 0

(2) 2 * A + 2 * B = 1

B = 1 / 4

A = 1 / 4

1 / (4 - x²) = (1 / 4) / (2 + x) + (1 / 4) / (2 - x)

Answer 3

[Jangler13]

Mach eine Partialbruchzerlegung. Dann kannst du die Stammfunktion leicht bestimmen.

Comments

[oij83]

Muss für eien Partialbruchzerlegung nicht auch x^(irgendetwas) im Zähler sein

[Jangler13]

@oij83

Nein, im Zähler und Nenner müssen Polynome stehen.

Answer 4

[Moritz7707]

Führe eine Partialbruchzerlegung durch :)