Wie bilde ich hier die Stammfunktion?

Wie kann ich bei der Aufgabe 9b) die Stammfunktion im Kopf bilden? Ich weiß, dass das Ergebnis (x+2)*sin(x)+c sein soll, kann aber nicht nachvollziehen wie man darauf kommt.

Answer 1

[Dogetastisch]

Im Kopf geht das am besten, indem man hier das Muster f*g' + f'*g erkennt, und so direkt durch die Produktregel weiß, dass die Stammfunktion dann f*g (+ c) ist. Geht natürlich nicht immer und erfordert etwas Übung.

Alteenativ kann man beide Summanden separat integrieren und beim zweiten Term partielle Integration anwenden und beide Stammfunktionen dann addieren.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – B.Sc. Mathematik & Informatik

Answer 2

[gauss58]

∫ (sin(x) + (x + 2) * cos(x)) dx = ∫ sin(x) dx + ∫ (x + 2) * cos(x) dx

Für das zweite Integral die partielle Integration nutzen:

∫ f(x) * g'(x) dx = f(x) * g(x) - ∫ f'(x) * g(x) dx

Answer 3

[evtldocha]

Wie kann ich bei der Aufgabe 9b) die Stammfunktion im Kopf bilden?

... nur mit sehr viel Übung, denn am Ende musst Du im Kopf eine Umkehrung der Produktregel machen und das geht mit.

$u(x)=x+2→u'(x)=1$ $v\left(x\right)=\sin\left(x\right)\ \to v'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$

Und damit ist der gegebene Term:

$1\cdot\sin\left(x\right)+\left(x+2\right)\cdot\cos\left(x\right)\ =\ u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)'$

Und daher ist die Stammfunktion:

$F(x)=u(x)⋅v(x)+C=(x+2)⋅\sin(x)\ +C$