Wie beweise ich |Wurzel x - Wurzel y| kleiner gleich |M mal |x - y|?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Terme richtig interpretiert habe.


Ich nehme mal an x und y element R+.

|sqrt(x)-sqrt(y)| <=M*|x-y|

Fall 1:

x>y:

->

sqrt(x) >sqrt(y)

->

|sqrt(x)-sqrt(y)|  > 0

->


sqrt(x)-sqrt(y) <=M*(x-y)

<=>

[sqrt(x)-sqrt(y)]/[(x-y)] <=M

x-y = [sqrt(x)-sqrt(y)]*[sqrt(x)+sqrt(y)] 3.e Binomische Formel.

->

[sqrt(x)-sqrt(y)]/[(x-y)] = [sqrt(x)-sqrt(y)]/[(sqrt(x)-sqrt(y))*(sqrt(x)-sqrt(y))]

=

1/[sqrt(x)+sqrt(y)] <= M

Wenn du jetzt M festlegst z.B 1, dann kannst du x und y nicht mehr beliebig wählen. Und zwar muss dann sqrt(x)+sqrt(y) >= 1 gelten. für z.B. x=0,25 und y = 0,16 gilt es nicht.

Sagst du dagegen z.B. x >=1 stimmt zumindest Fall1 für beliebige M element N und für alle y>=0.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Meinst du folgendes?

|√x - √y| ≤ m * |x - y|

Wenn m∈ℕ, dann gilt diese Aussage nicht für alle x, y∈ℝ₀⁺.

Sei m = 1, x = 0,25 und y = 0,0625:

|√x - √y| ≤ m * |x - y|

|√0,25 - √0,0625| ≤ |0,5 - 0,0625|

|0,5 - 0,25| ≤ |0,5 - 0,0625|

0,25 ≤ 0,1875

Widerspruch, somit ist die obige Aussage widerlegt. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von xxLiiisaaXx
11.09.2016, 14:20

Kann ich einfach irgendwelche Zahlen einsetzen? Oder wie bist du auf genau die Zahlen für M und x und y gekommen?

0

x |—> W(x) ist differenzierbar auf (0,\\infty) und stetig auf [0,\\infty).

Laut des ZWS gibt es zu allen x, y € [0,\\infty) verschieden ein z € (x,y) oder (y,x), also auf jeden Fall z!=0, so dass W(y)–W(x) = (y–x).W’(z) = (y–x)/2W(z). Darum |W(y)–W(x)| = |y–x|/2W(z).

Falls sich auf x, y € [a,\\infty) beschränkt wird für ein a>0, so gilt z>a und damit 1/2W(z) < 1/2W(a) für das z oben. Mit dieser Einschränkung gilt also die Behauptung unter M:=1/(2W(a)). In der Tat ist dies der kleinste Wert von M.

Wenn man sich auf (0,\\infty) beschränken will, so versagt die Behauptung.

Das Ganze oben kann man noch einfacher und sicherer beweisen durch die Beobachtung:

(y–x)=(W(y)^2 – W(x)^2)=(W(y)–W(x))(W(y)+W(x))

und

|W(y)+W(x)| >= 2W(a).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Wurzelfunktion ist nicht Lipschitz-stetig.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?