Wie berechnet man geleistete Arbeit bei der Überwindung des Luftwiderstandes während einer Beschleunigung?

Situation:

Ein Auto beschleunigt mit einer konstanten Beschleunigung von der Geschwindigkeit v0 (ungleich 0 m/s) auf die Geschwindigkeit v1. Dabei überwindet das Fahrzeug den Luftwiderstand F=0,5*cw*rho*A*v^2.

Jetzt möchte ich nach der Formel W= Integral von F *ds die geleistete Arbeit berechnen. Jetzt meine Frage: kann ich den Fahrwiederstand F ohne weiteres in die Formel für die Arbeit W einsetzen? Ich bin mir unsicher, da F ja abhängig von der Geschwindigkeit v ist (ich nehme an, dass alle anderen Faktoren konstant bleiben), aber ich über die Strecke integriere.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

PS: Widerstand, nicht Wiederstand

Answer 1

[isohypse]

Integrieren...Wenn ich abkürzend schreibe

$k\ :=\ \frac{1}{2}c_w\rho A$

(T=Endzeit bei der v1 erreicht wird)

$W\left(T\right)=\int_0^TFds\ =\ \int_0^Tkv^2vdt\ =\ k\ \int_0^Tv^3dt\$

und mit

$v\left(t\right)=v_0+a\cdot t$

$W\left(v_1\right)=\ k\cdot\int_0^T\left(v_0+at\right)^3dt\ =\ \frac{k}{4a}\left(\left(aT+v_0\right)^4-v_0^4\right)=\frac{k}{4a}\left(v_1^4-v_0^4\right)$