wie berechnet man die Koordinaten vom Schnittpunkt?
hallo!
Ich gehe hunderte von Beispielen für meine morgige Prüfung durch, und hänge grad etwas an einem Beispiel.
Ich muss bei der Vektorrechnung bei einem Viereck den Schnittpunkt der Diogonalen berechnen. Die Seiten sind A(3/-1) B(5/1) C(2/5) D(-1/1)
worauf schließt dass die Diogonalen BD(-6/0) AC(-1/6) sind. Wie komme ich jetzt auf die Koordinaten des Schnittpunktes jetzt ? Bei Geraden stellt man die ja gleich aber hier ??
Die Lösung habe ich zur Kontrolle, es kommt raus S(8/3; 1) nur komme ich nicht auf den Rechenweg :(
könnte mir das jemand bitte ausführlich hinschreiben ? bittee :))
LG Saniiis
2 Antworten
Das Funktioniert genauso wie als wenn du mit skalaren Größen rechnest. Stelle 2 vektorielle Geradengleichungen auf.
Seien A und B die Koordinaten von 2 Eckpunkten und v und w die Richtungsvektoren der Diagonalen, so seien nun die Geradengleichungen wie folgt definiert:
Y = A + x*v ( 1 )
Y = B + z*w ( 2 )
mit den skalaren Argumenten x und z. So folgt für den Schnittpunkt:
A + x*v = B + z*w
Umformen liefert schließlich:
A - B = z*w - x*v
Dies liefert dir genügend Gleichungen die du schließlich nach z und x auflösen kannst:
A(1) - B(1) = z*w(1) - x*v(1)
...
Einsetzen des Ergebnisses für x oder z in (1) oder (2) liefert dir schließlich die Koordinaten des Schnittpunktes.
willst du mir villeicht das Beispiel lösen ? bei mir kommen komische Zahlen raus :D ich habe das zwar schon eingesetzt und dann eben gleichgestellt aber iwie funktioniert da etwas nicht bei mir
mach' dir mal 'ne Skizze zu diesem Problem (dank 2-D geht das ja noch auf Papier). Und dann stellst du ganz schnell selber fest, dass die von dir gefundenen "Diagonalen" noch nicht die tatsächlichen Diagonalen sind - es sind Vektoren der richtigen Länge und vor allem der richtigen Ausrichtung, aber z.B. die Diagonale zu AC geht weder durch " A ", noch durch " C ".
Im Moment ist von einer Geradengleichung ( y = mx + b) also lediglich das " m " ausgerechnet. Um auf die Geraden selber (und damit das " b " )zu kommen, musst du noch jeweils einen der Punkte mit einsetzen.
Im Klartext also lautet eine der Diagonalen A + k mal AC (oder C + k mal AC), mit " k " als reelle Variable. Und die zweite ist eben B + k mal BD (oder D + k mal BD).
na, ganz einfach: ein Punkt (mit den Koordinaten X/Y) liegt auf der ersten Geraden wenn (X/Y) = (3/-1) + k*(-1/6) für irgendein bestimmtes "k" gilt. Und für irgendeinen Punkt auf der zweiten Gerade gilt es eben sinngemäß, nur mit der anderen Geradengleichung und einem möglicherweise komplett anderen " k " (zur Vermeidung irgendwelcher Verwechslungen nenne ich dieses zweite " k " jetzt mal " m ").
So - die Diagonalen sollen sich schneiden, der Schnittpunkt liegt also sinnigerweise auf beiden Geraden. Prima, das gibt dann ein Gleichungssystem jeweils für die x- und y-Komponenten, unbekannt sind nur " k " und " m ".
Für die x-Komponenten bekommt man also:
3 - k (für die erste Gerade) = 5 - 6m (für die zweite), und für y-Komponente gibts
- 1 + 6k = 1.
Voila, die letzte Gleichung ist doch prima, k = 2/3.
Danke fürs schnelle antworten;
somit habe ich jetzt (3/1)+k*(-1/6) und fürs zweite (5/1)+k*(-6/0)
wie gehts weiter ?