wie berechnet man den gemeinsamen Schnittpunkt von vier Kugeln?
Ich wollte mal fragen wie man den Schnittpunkt von vier Kugeln, deren X,Y,Z Koordinaten und Radius bekannt ist.
4 Antworten
Bei der GPS-Navigation (darum geht es ja wohl) sind mindestens 4 Satelliten mit den Koordinaten x_i, y_i, z_i erforderlich. Das führt zu 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten (Koordinaten des Empfängers x_E, y_E, z_E sowie Uhrenfehler des Empfängers Δt_E. Darüber hinaus ist eine Ausgleichung notwendig.
Es handelt sich geometrisch um einen räumlichen Bogenschlag mit gleichzeitiger Bestimmung einer Additionskonstante für alle gleichzeitig gemessenen Pseudostrecken r_i.
r_i = Δt_E * c + √((x_i – x_E)² + (y_i – y_E)² + (z_i – z_E)²)
Hinweise zur Berechnung findet man u.a. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/GPS-Technik
Eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r hat die Vektorgleichung (*)
K: (x–M)²=r²
Für den Schnittkreis zweier Kugeln bestimmt man zuerst deren Schnittebene E durch Subtrahieren der Kugelgleichungen:
- K₁: (x–M₁)²=r₁², K₂: (x–M₂)²=r₂² ⇒ E: 2(M₂–M₁)x+M₁²–M₂²=r₁²–r₂²
und berechnet dann den Schnittkreis einer Kugel mit E (aber der ist hier uninteressant).
Wenn Du schon weißt, dass es genau einen Schnittpunkt der 4 Kugeln gibt, reicht es gewöhnlich, 3 der 6 Schnittebenen miteinander zu schneiden. Es könnte aber sein, dass zwei Ebenen zusammenfallen und deshalb keine eindeutige Lösung liefern. Dann musst Du eine weitere Schnittebene hinzu nehmen.
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(*): Ohne Vektorrechnung geht es natürlich auch. Aber dann blähen sich die Gleichungen zu wahren Monstern auf.
Was genau ist "der Schnittpunkt von 4 Kugeln"?
Wie liegen die Kugeln zueinander?
Berühren die sich? (Dann gibt es nicht den einen Schnittpunkt sondern es gibt sechs Punkte.)
Durchdringen die sich gegenseitig? (Dann sind es keine Punkte sondern Kreise.)
Ja kann man so sagen. Nur halt mit 4 Punkten
du musst die kugeln als Gleichungen aufschreiben und das entstehende gleichungssystem lösen
Sie durchdringen sich aber es geht um den gemeinsamen Schnittpunkt von allen. Deswegen 4 Kugeln, damit nur ein Punkt und kein Kreis/ mehrere Punkte entsteht.