Wie berechnet man die hochpunkte von (sin(x))^2?
5 Antworten
Du könntest beispielsweise die Ableitungen der Funktion bilden, und die erste Ableitung auf Nullstellen untersuchen...
Alternativ kann man auch
umformen. [Siehe beispielsweise: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Potenzen_der_Winkelfunktionen]
Dann könnte man erkennen, dass die Hochpunkte genau an den Stellen liegen, an denen cos(2x) minimal wird. Dabei wird die cos-Funktion an den ungeraden Vielfachen von π minimal und nimmt dort den Wert -1 an. Also gilt für die gesuchten Stellen 2x = (2m + 1) ⋅ π mit m ∈ ℤ, also x = (2m + 1) ⋅ π/2 mit m ∈ ℤ.
cos(2x) wird an diesen Stellen gleich -1, sodass man für den entsprechenden Funktionswert 1/2 ⋅ (1 - (-1)) = 1 erhält.
Demnach sind die gesuchten Hochpunkte genau die Punkte
mit m ∈ ℤ.
f(x) = (sin(x)) ^ 2
Mit der Kettenregel ableiten, also vereinfacht ausgedrückt Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion :
f´(x) = cos(x) * 2 * (sin(x)) ^ 1
f´(x) = 2 * cos(x) * sin(x)
Nullstellen der ersten Ableitung finden :
2 * cos(x) * sin(x) = 0 | : 2
cos(x) * sin(x) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt die Nullstellen von cos(x) und von sin(x) finden.
Danach mit der zweiten Ableitung prüfen welche Nullstellen der ersten Ableitung Hochpunkte sind und welche nicht.
d/dx((sin(x))^2) = 0
Mit der zweiten Ableitung das Krümmungsverhalten prüfen.
d²/dx²((sin(x))^2) < oder > 0 <- negativ Hochpunkt, positiv Tiefpunkt
Wendestelle wäre = 0, hat deine Funktion auch paar, interessiert dich aber nicht momentan
Es geht auch viel einfacher. Durch das Quadrat wird aus der Periode 2\pi die Periode 1 \pi. Die Tiefpunkte liegen somit bei x=n * \pi, n \element IN. Und die Hochpunkte bei x=(2n-1)/2 * pi, n \element IN. Die Tiefpunkt haben den y-Wert 0, die Hochpunkte den y-Wert 1. Das kann man logisch herleiten.
Du berechnest die Nullstellen der 1. Ableitung und bestimmst mit der zweiten, um welche Art es sich handelt.