Wie berechnet man die Erlösfunktion (Mathe)?

2 Antworten

p(x) = -0,75x + 15
---> das ist die sogenannte "Inverse Nachfragefunktion", sie gibt den Preis (y-Achse) in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge an (x-Achse) an
---> in Abgrenzung dazu gibt es die "Nachfragefunktion", diese gibt die nachgefragte Menge (y-Achse) in Abhängigkeit vom Preis (x-Achse) an

Was du jetzt brauchst, ist die Umsatzfunktion (auch Erlösfunktion genannt). Umsatz besteht immer aus Preis mal Menge. Daher ist die Erlösfunktion:

E(x) = p(x) * x = (-0,75x + 15) * x

--> E(x) = -0,75x² + 15x

Um jetzt das Maximum dieser Erlösfunktion zu bestimmen, musst du ihre Ableitung gleich 0 setzen:

E'(x) = -1,5x + 15 = 0
---> 15 = 1,5x
---> x = 10

Der maximale Erlös wird also bei der Menge x = 10 erzielt. Um die Höhe dieses Erlöses zu ermitteln, musst du diese 10 in die Erlösfunktion einsetzen:

E(10) = -0,75*10² + 15*10 = -75 + 150 = 75

Der maximale Erlös beträgt also 75 Geldeinheiten.

Was ich nicht verstehe ist wiso du bei E(10) am ende der gleichung 150 geschrieben hast anstatt nur 15 wie es in der ausgangs gleichung steht p(x)

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@Harmain

Die Ausgangsgleichung p(x) ist nur die Preisfunktion (auch "Inverse Nachfragefunktion" genannt). Diese gibt nicht den Umsatz an, sondern nur den Preis p in Abhängigkeit von der Menge x. Die Erlösfunktion ist aber Preis mal Menge. In Funktionenschreibweise heißt das p(x) * x, daraus ergibt sich E(x) = -0,75x² + 15x.

Die Funktion E'(x) = -1,5x + 15 ist nicht die Ausgangsfunktion, sondern die Ableitung der Erlösfunktion (auch "Grenzerlösfunktion" genannt). Diese muss gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst werden, da ein Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) einer Funktion immer dort gegeben ist, wo ihre Ableitung gleich 0 ist.

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Danke für deine vorheringen antworten auf meine fragen! :) Leider hab ich noch eine Frage: warum hast du bei E'(x)= -1,5x ... und nicht -0,75x wie es da drüber steht. wie bist du auf die -1,5x (...) bei E'(x) gekommen? Es wäre sehr nett wenn du mir das noch erklären könntest. Und nochmals vielen vielen dank für deine antworten auf meine fragen. Du hast mir sehr geholfen. ;-)

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@Harmain

Ich habe die ganz normale Ableitungsregel angewendet.

f(x) = a * x^n

f'(x) = n * a * x^(n-1)

Diese Ableitungsregel ist auf jeden Term einzeln (also erst auf -0,75x², dann auf 15x ) anzuwenden. Das liegt daran, dass ableiten linear ist. Wenn du mit Ableitungen Schwierigkeiten hast, gibt es dazu endlose gute Erklärungen im Internet (viel mehr als zu Sachen wie Erlösfunktion).

Heißt, aus -0,75x² (anders geschrieben -0,75 * x^2) wird:

2 * -0,75 * x ^(2-1) = -1,5 * x^1 = 1,5x

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E(x)=p(x)*x
E(x)=(-3/4*x+15)*x
E(x)=-3/4*x^2+15*x

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