Wertemenge ermitteln?
Warum ist die Wertemenge des Graphen f(x) = 10logx R? Und wie finde ich das heraus?
2 Antworten
Die Wertemenge beschreibt das, was für y rauskommen kann, also alle Funktionswerte von f.
Mal ein alternativer Weg, als mit bloßem Auge und Gefühl die Wertemenge zu erkennen:
Stelle dazu mal eine Gleichung auf:
10log(x) = y, wobei y irgendeinen Funktionswert beschreibt.
Gibt es jetzt irgendwelche Werte für a, die die Gleichung unlösbar oder undefiniert machen?
Formen wir mal um:
10log(x) = y ⇔ log(x) = y/10 ⇔ x = 10^(y/10)
Jetzt sieht man es klarer: Wir können für y einsetzen, was wir wollen, die Gleichung ist immer definiert.
Somit ist die Wertemenge \W = ℝ, weil jede Zahl für f(x) bzw. 10log(x) herauskommen kann.
LG Willibergi
Weil der Logarithmus alle reellen Zahlen annehmen kann, er ist eine kontinuierliche streng Monoton Steigende Funktion welche am unteren Rand der Definitionsmenge den Wert:
lim x -> 0 von log(x) = -unendlich hat
und am oberen Rand der Definitionsmenge:
lim x -> unendlich von log(x) ) unendlich hat.
Über den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen kann man jetzt folgern, dass der Logarithmus somit jeden Wert zwischen -unendlich und +unendlich annimmt und dieses Intervall entspricht genau der Menge der Reellen Zahlen.
Alternativ kannst du es auch aus der Definitionsmenge der Umkehrfunktion herleiten. Die Umkehrfunktion ist 10^x und ist auf gesamt R definiert, somit muss log(x) auch alle Werte aus R annehmen können, ansonsten wäre die Funktion nicht bijektiv.