Welche Bedeutung haben Nullstellen der 2. Ableitung für den Graphen?

3 Antworten

Die Nullstellen der 2. Ableitung geben alle möglichen Wendepunkte an. Um zu testen, ob die Nullstellen x1..xn wirklich Wendepunkte sind, muss man jeden Punkt in die nächsthöheren Ableitungen einsetzen. Wenn die erste Ableitung, die an diesem Punkt ungleich 0 ist, eine ungerade Nummer hat (also dritte, fünfte Ableitung usw.), dann ist dort eine Wendestelle, hat sie eine gerade Nummer, dann ist dort keine Wendestelle.

Ableitung = Mass der Steigung. Nullstelle bedeutet folglich: Steigung=0 oder anders ausgedrückt: Scheitelpunkt im ursprünglichen Graphen.

Die Überlegung ist nun: Wann hat eine 1. Ableitung Scheitelpunkte, wie sieht an diesen Stellen der Ursprungsgraph aus?

Beispiel:

f(x) = 4 x ^3 -> Definitionsbereich

f´(x) = 12 x ^2 -> Max./Minimum

f´´(x) = 24 x -> Wendepunkte

f´´´(x) = 24 (von links unten nach rechts oben, stetig steigend, - weil positiv)

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