We ermittle ich eine Ursprungsgerade?
Ich habe nur die Funktionsgleichung f(x)=(lnx)^2 gegeben und muss die Ursprungsgerade ermitteln, die den Graphen f(x) berührt, aber wie mache ich das?
3 Antworten
Du suchst die Stelle x, für die gilt: f'(x) * x = f(x)
WolframAlpha hilft.
Allgemeine Funktionsgleichung:
mit f(x) = ln(x)
Gesuchte Funjtionsgleichung der Form
g(x) = mx (Ursprungsgerade)
Beide Funktionen berühren sich in einer Stelle a mit f(a) = g(a) und f '(a) = g '(a) (nur Berühren, nicht schneiden, daher auch f '(a) = g '(a))
Aus f(a) = g(a) folgt ln(a) = ma
Aus f '(a) = g '(a) folgt 1/a = m
Die zweite Gleichung ergibt umgeformt a = 1/m
Das in die rste Gleichung einsetzen:
Es folgt ln(a) = m*1/m=1
Verkürzt: ln(a) = 1 ergibt umgeformt a = e
Die Berührungsstelle muss an der Stellle a = e sein.
Sie berühren sich am Punkt (e| f(e)) = (e|ln(e))=(e|1)
Für die Ursprungsgeradenfunktionsgleichung brauchst du nur die Steigung m und die ist nach der Formel m= (y2-y1)/(x2-x1) mit dem Punkt (0|0)
also m= (1-0)/(e-0) = 1/e
und deswegen muss die gesuchte Gerade von der Form y=(1/e)*x sein
Ich danke dir vielmals. Das hat mir sehr geholfen. Ich habe es nach deinen Schrittfolgen gemacht und bin auf y=1/e*x gekommen. Also auch dein Ergebnis
Aber deine Aufgabe war ( ln(x))^2...die lösung dazu steht unten....
Dann folgt einfach
(ln(a))^2=ma
und
2ln(a)*(1/a)=m
Die zweite Gleichung in die erste einsetzen und es folgt:
(ln(a))^2=2ln(a)*(1/a)*a=2ln(a)
es folgt (ln(a))^2-2ln(a) =0
und das ist ln(a)(ln(a)-2)=0
erste Lösung ist in ln(a) = 0 wegen dem satz vom Nullprodukt. Auf beiden Seiten e hoch nehmen und es folgt a = e^0=1
und die zweite Llsung ist ln(a)-2=0
was umgeformt ln(a) = 2 ...das umformen ergibt a=e^2
Die Stellen sind also einmal a1=1 und a2 = e^2 mit den Punkten (1|(ln(1))^2) also (1|0) und (e^2|(ln(e^2))^2) also (e^2|4)
wegen m=(y2-y1)/(x2-x1) folgt m = (4-0)/(e^2-0) = 4/e^2
und (0-0)/(1-0) was 0 ergibt...
Also folgen für die Funktionsgleichungen m1= 0 und m2 = 4/(e^2)
was dann dazu führt dass die gefragten Geraden von der Form y=(4/(e^2))*x und y=0*x=0 sind.
Nö, die Funktion ist eine Verkettung Funktion und nach der Kettenregel ist die obige Ableitung richtig.
f(x) = (ln(x))^2 ; f´(x) = 2 * ln(x) / x
und Gerade g(x) = m * x ; g´(x) = m ;
Sowohl Funktionswert als auch Steigung der gesuchten Gerade und der Funktion müssen an einer Stelle x übereinstimmen.
also f´(x) = 2 * ln(x) / x = m ; und m * x = (ln(x))^2 ; => x * 2 * ln(x) / x = (lnx)^2 ;
=> 2 = ln(x) => x = 7,389... => m = 2 / 7,389... = > g(x) = 2/7,389..* x ;
oh sorry hab nur den ln(x) gesehen...mach die Schritte einfach noch mal mit dem (ln(x))^2 dann hast dus