Mathe (Funktionen) - Hilfe?
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = - 0,25x³ + x².
Bestimmen Sie die Ursprungsgerade, die das Schaubild K von f außerhalb des Ursprungs berührt. Geben Sie den Berührpunkt an.
Frage: Wie würdet ihr die lösen?
2 Antworten
Hallo,
eine Ursprungsgerade hat die Gleichung y=mx, wobei m die Steigung ist.
Setz die Ableitung von f(x) anstelle von m in die Geradengleichung ein und setze anschließend die Gerade und die Funktion gleich.
Die Werte für x, den Du so bekommst, setzt Du in die Ableitung der Funktion ein, um Werte für m zu erhalten. Da die Ursprungsgeraden nur von m abhängig sind, ist die Aufgabe damit gelöst.
Zur Bestimmung des Berührpunktes setzt Du den berechneten Wert für x noch in die Geradengleichung oder in die Funktionsgleichung ein. Da dieser Punkt beiden gemeinsam ist, ist egal, welche Gleichung Du dafür nimmst.
Es gibt zwei Ursprungsgeraden, die f(x) berühren, aber nur eine, die f(x) an einer anderen Stelle als am Ursprung berührt.
Herzliche Grüße,
Willy
Die 2 in die Ableitung der Funktion einsetzen: f'(2)=1=m.
y=x ist daher die gesuchte Gerade mit dem Berührpunkt (2|2).
Ableitung bilden, gleich null setzen und dann gerade aufstellen zwischen ursprung und nullpunkt der ableitung
Habe bis jetzt so gerechnet:
f(x) = - 0,25x³ + x²
f`(x) = - 0,75x² + 2x
f`(x) = 0
0 = - 0,75x² + 2x
Anwendung SVN:
x (- 0,75x + 2) = 0
x1 = 0
- 0,75x + 2 = 0 | - 2
- 0,75x = - 2 | : (- 0,75)
x2 = 8/3
--> y = 8/3x
Passt das?
Das ist bei mir schon etwas lange her, aber ich glaube, du musst so vorgehen: die nullstellen von f'(x) sind 0 und 8/3. Setze nun 0 und 8/3 jeweils mal (nacheinander) in f(x) ein und lös nach y auf, dann hast du auch die y-koordinaten der punkte, an denen der graph die steigung null hat. Nun musst du die geradengleichung aufstellen. Steigung m= (y1 - y2)/(x1 - x2). Nun setzt du dein m und die koordinaten eines der beiden punkte in die allgemeine geradengleichung ein, löst nach t auf (y=m×x+t) und hast dann deine gerade, die den graphen berührt und durch 0/0 geht. Wie gesagt, bin mir aber nicht 100% sicher, ist lange her^^
Habe bis jetzt so gerechnet:
f(x) = - 0,25x³ + x²
f`(x) = - 0,75x² + 2x
y = mx
y = (- 0,75x² + 2x) • x
f(x) = g(x)
- 0,25x³ + x² = (- 0,75x² + 2x) • x
- 0,25x³ + x² = - 0,75x³ + 2x² | + 0,75x³ | - 2x²
0,5x³ - x² = 0 | • 2
x³ - 2x² = 0
Anwendung SVN:
x² (x - 2) = 0
x1|2 = 0
x - 2 = 0 | + 2
x = 2
x3 = 2
Wie gehts weiter?