Wassertrog?
Leute dieses Beispiel hat mich irgendwie verwirrt. Wie arbeiten derzeit mit dem Thema Integralrechnung. Könnt ihr mir bitte die Schritte erklären. Danke euch.
3 Antworten
Im ersten Schritt brauchst du die Stirnfläche. Dazu integrierst du bei der angegebene Funktion zwischen den x-Werte von 0,6. Das subtrahierst du von der ganzen Rechteckfläche.
Hallo.
Bei Aufgabe a sollst du das Volumen berechnen. Und wie macht man das?
Volumen = Länge * Breite * Höhe
Die Fläche kannst du mit dem Integral berechnen, die Länge ist mit 3m angegeben.
Ansonsten sind Funktion (f(x) = 12x^4 - 0,3x^2) und Intervall (von -0,49 bis 0,49) gegeben. Also Stammfunktion bilden und die beiden Grenzen eingeben. Ansonsten bedenken, dass eine Fläche immer positiv ist. Daher gegebenenfalls von -0,49 bis 0 und von 0 bis 0,49 integrieren und die Beträge zusammenaddieren.
Als Tipp: Du könntest der Funktion noch ein -0,6 anhängen. 😉
Reicht dir das als Hilfestellung?
LG
a)
Das Volumen des Troges ist die Stirnfläche man die Länge des Troges.
Die Begrenzungslinie der Stirnfläche
f(x) = 12x^4 - 0.3x²
verläuft symmetrisch zur y-Achse. Deshalb reicht es, die Fläche entlang der positiven x-Achse zu berechnen. Das doppelte macht dann die gesamte Stirnfläche aus.
Zur Berechnung der halben Stirnfläche braucht man erst mal die Höhe der Wasseroberfläche. Dies beträgt eben nicht y = 0.6, sondern y = f(0.49) ~ 0.6197
Die halbe Stirnfläche ist dann die Fläche des Rechtecks 0.49 * f(0.49) abzüglich des Integrals f(x) im Intervall [0, 0.49].
Stammfunktion F(x) = 12/5 * x^5 - 1/10 x³
Die halbe Stirnfläche beträgt dann:
0.49 * f(0.49) - ( F(0.49) - F(0) ) = 0.49 * f(0.49) - F(0.49)
Die gesamte Stirnfläche (das doppelte):
2 * ( 0.49 * f(0.49) - F(0.49) )
Das Volumen beträgt dann (wegen der Länge von 3 Meter):
3 * 2 * ( 0.49 * f(0.49) - F(0.49) ) ~ 1.48588
Aufgrund der Einheit Meter sind das ~ 1.48588 m³ bzw. ~ 1486 Liter
b)
25 cm (= 0.25 Meter) unter dem Rand entspricht dann nicht mehr dem Wert y = f(0.49), sondern y = f(0.49) - 0.25
Dann muss man noch berechnen, an welcher Stelle x die Begrenzungslinie f(x) die neue Wasseroberfläche schneidet, denn das Integrationsintervall wird mit einem tieferen Rand kleiner.
Ansatz:
f(0.49) - 0.25 = 12x^4 - 0.3x²
Die Lösung lautet x ~ 0.4341, aber das soll man nicht berechnen, sondern nur den Lösungsweg beschreiben.
Die neue Stirnfläche ergibt sich dann wie oben, nur mit dem Unterschied, dass man 0.49 durch x ~ 0.4341 ersetzt:
2 * ( x * f(x) - F(x) )