Was sagt die Ungleichung aus?

Auf der linken Seite ist ja noch nichts eingesetzt, warum ist die rechte Seite, wo die 3 eingesetzt ist dann größer gleich als links?

Answer 1

[aperfect10]

Für alle n >= 3 ist die linke Seite kleiner als die rechte. Egal was man für n einsetzt.

Die linke Seite wird immer kleiner, je größer n wird:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{2} > \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^2\cdot\frac{1}{2}$ Und für n = 3 gilt

$\left(1+\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{2} = \frac{8}{9}$

Also wenn die linke Seite für n = 3 gleich 8/9 ist, und für n > 3 immer kleiner wird, dann gilt die Ungleichung für alle n >= 3.

Comments

[habnefrage995]

Warum kann man denn die linke und die rechte Seite miteinander vergleichen, weil links ist für das n ja nichts eingesetzt, liegt es daran, dass lim n gegen unendlich geht?

[aperfect10]

@habnefrage995

Nein, das hat nichts mit irgendeinem Grenzwert zu tun.

Links steht eine Zahl, und rechts auch. Und solange sich das nicht ändert kann man die beiden Seiten vergleichen.

Ich habe oben noch eine Erklärung hinzugefügt.